数学是物理学习的基础，不论是物理规律的简洁表达、实验的测量计算、问题的推演求解，都离不开数学的运用。

从传统上讲，数学家和物理学家自希腊时代就难以分割开。牛顿和他的同时代的人从不将数学和物理学进行明显的区分，他们称自己为自然哲学家，对数学、物理学和哲学世界都充满了兴趣。

在18世纪到19世纪，数学和物理学之间有着大量的交流，高斯、黎曼和庞加莱都认为，物理是新数学的重要源泉，而数学则是物理学的语言。

但在庞加莱和爱因斯坦之后，数学和物理学的发展出现了一个“急转弯”。在过去的七八十年间，数学家和物理学家之间很少出现真正的沟通，即使有也非常非常少见。

常见的数学内容，比如基本函数、不等式、数列、三角函数、圆锥曲线、微积分初步等等，在物理学中均有体现。学生灵活运用数学知识，会将物理问题化繁为简、化抽象为具体、化感性为理性，对物理知识的掌握达到质的飞跃。

引语根据爱因斯坦的狭义相对论，静止质量为m0的电子以一定速度运动时，电子的总动能满足W2=由此可以得到许多数学家认为电子具有负能量是不可理解的，但狄拉克坚信，负能量描述的是一种以不寻常状态存在的真实粒子，并于1928年建立了著名的狄拉克方程。4年后，安德森从宇宙射线中发现了正电子，狄拉克的预言得到了证实。这说明数学以其高度抽象的思维提高了物理学家的预见能力，能深刻地揭示物质世界的内在联系。

电报之父莫尔斯曾说过：“数学是数学，物理是物理，但物理可以通过数学的抽象而受益，而数学则可通过物理的见识而受益。”由此可见，物理的发展离不开数学，许多物理现象的预言与解释更离不开数学方法与物理思想的巧妙结合。

在高等教育中，高等数学和大学物理是理工类各专业本科生的必修基础课程，但是很多学生在学习这两门课程的过程中并不能够做到知识的相互迁移、思想方法的相互渗透融合，从而使所学到的数学方法有所偏废，物理思想过于僵化。

物理学中的数学不同于纯数学在数学中z=xy说明y与x成反比，y与z成正比；然而在物理学中F=qE的函数关系中，电场强度E是由电场本身的性质所决定的，与试探电荷q无关，所以不能认为E与q成反比、E与F成正比；又比如弹簧的弹力F和弹簧的形变量x成正比，即F=-kx，但k是弹簧的劲度系数，只由材料的性质所决定，不与x成反比；类似的还有物质的吸热量Q与比热容c之间的函数关系Q=cmΔT、导体两端的电压U与电阻R之间的关系U=IR，c与R均由物质本身的性质所决定，与其他变量无关。如果我们在等号左侧加上括号和自变量，比如Q(m,ΔT)=cmΔT，那么数学学习者也会认识到c与其他变量无关，但在物理表述中，我们并不需要这么麻烦。

这些简单的实例说明，数学方法在物理学的运用中通常被赋予了特定的物理意义，从而助益于物理的表述与计算。但这并不意味着物理学习者就一定能看到数学符号所隐含的物理意义，如上文提到的部分物理学专业的学生不清楚行列式与矩阵在物理学中有何应用。

数学方法在物理学中的意义建构

如表1所示，我们可以认知到，匀变速直线运动中，相邻的相等时间段的末速度成等差数列，其中加速度a映射到公差d，时间t与项数n的区别在于t∈[0, +∞)而n取正整数，t时间内的位移对应等差级数的部分和，且级数(即t→+∞时的位移S)发散。这就从具身体验中建构了等差数列“语言”在物理学中的意义与应用，且益于增进学生对相关概念、公式和规律的逻辑记忆。

问题：

质量为M的物体在水平方向上与劲度系数为k的弹簧组成振子，以M的自然平衡位置O为坐标轴原点，若物体M在水平方向由原点移动至x位置处，如何求弹力对M做的功W？

A同学：弹力F=kx，F对形变量x的平均值为位移为x，所以

B同学：首先需要外力对这个系统做功，物体的机械能不变，外力做的功转化为弹簧的弹性势能，外力拉物体，对物体做功，弹簧又对物体做负功，弹簧对物体做的功的负值就等于外力做的功，外力做的功的值等于弹簧的弹性势能，等于1/2kx2。

C同学：弹力F=kx，那么W=Fx= kx2。但是M初始状态是在平衡位置，要想移动至x位置应该还得有拉力，看题意摩擦力应该是被忽略的，这样解好像有点简单了，所以我不太敢确定。(停顿)Ma=kx，W=1/2Mv2这样解出来是总的功，老师我觉得我还得再想想，或者老师能不能给些提示？(老师：考虑力和力的方向上的位移，拉力与解题无关，想一下高等数学里的积分。)F=kx，W=力对位移的积分=1/2kx2。

D同学： W=Fs，因为弹力F=kx是变力，所以需要积分，所以老师，是这样吗？(老师：弹力是-kx，微位移是dx，所以积分公式里是不是多了些什么？)负号？(老师：那是公式里缺少的，多了什么？)x？显然，我对积分还不太理解。

E同学：可不可以直接用F-x图像，求面积就是做的功呀？(停顿)结果是1/2kx2？(老师：这么不自信？怎么求的？)(学生给出了下面的示意图，并问到：“我感觉这样也太容易就算出来了呀，所以，我对了吗？”)(老师：少了一个符号。)啥符号？(老师：负号。)对呦，负功。

从该案例中我们可以看出，A同学和B同学用到了高中物理中学到的弹性势能的计算方法，特别是B同学的回答，我们可以看到一种动态思维过程：通过假设问题之外的一种物理过程，将“拉力”“机械能”“功转化”等多种知识概念组织到一起推论到最终结果；C同学开始并没有注意到F是变力，通过联想“拉力”“摩擦力”“牛顿第二定律(Ma=kx)”“动能(W=1/2Mv2)”等零散的物理过程，甚至可能怀疑老师问的问题是不是题意不明？！D同学想到将M的位移划分为无限多个微路程，通过积分进行求解，但显然，D同学的积分知识学得并不扎实，认为对函数f(x)积分的算法是E同学用到了定积分的思想：函数F(x)在区间[0,x]中的曲线所包围的面积就是定积分，即F对M做的功。但5位同学都没有注意到数学中的负号在物理学中意义的建构：弹力对物体做负功！学生们多样的思维模式以及对不同知识概念的融合、不同知识体系的运用体现了数学“语言”在物理学中应用的百科性。

结束语数学和物理学的关系, 应该是十分密切的。在数学系以外的课程中, 物理系开设的数学课最多最深。物理学公理化, 数学化, 曾是一个时期许多大学问家追逐的目标。不过, 擅长使用数学于物理的杨振宁教授却认二者间的差别很大, 他有一个生动的双叶比喻, 来说明数学和物理学之间的关系, 如下图。

他认为数学和物理学像一对对生的树叶, 他们只在基部有很小的公共部分, 多数部分则是相互分离的。杨振宁先生解释说: 「它们有各自不同的目标和价值判断准则, 也有不同的传统。在它们的基础概念部分, 令人吃惊地分享着若干共同的概念, 即使如此, 每个学科仍旧按着自身的脉络在发展。

如何学习物理学中的数学呢？有专家认为，物理理论不是推导出来的，而是实践、归纳、试错出来的。对于物理学中的数学，做到现学现用即可。学物理需要的数学最小集合为：微积分基础、线性代数、留数定理、微分方程、解析几何等。学数学需要的物理最小集合为：经典力学。微积分与力学融会贯通，看书的时候要把前后章节知识融会贯通。

参考文献贾光一 刘玉环 等，从认知语义学的视角看数学方法在物理学中的应用

给你打个比喻吧！

如果把物理学看做美味的饭菜，数学就是其中的盐！