Kepler 三定律清楚地描述了行星运行的简单模式。一个自然的问题就是：「为什麼行星会以太阳为其一焦点的椭圆轨道运行？」牛顿对这个问题给了一个直接的答案，即行星与太阳之间存在满足平方反比定律 注2 (inverse square law) 的引力。而且这种引力同样地存在于任何两个物体之间，不论是火星与太阳或是苹果与地球，都是同一种引力；这就是牛顿著名的万有引力定律。现在让我们以现今的符号体系来重新看看牛顿这个对后世科学发展有著深远影响的工作。首先我们需要对椭圆的几何性质有一定的了解。

（一）椭圆面积公式：椭圆面积

设椭圆的长、短径分别为 2a, 2b 。现构造两个圆，半径分别为 a, b，并把椭圆夹于两者之间，如 [图 8-21] 所示。

[ 图 8-21 ]
考虑图中那条过 P(x,y) 的窄条面积。由于 , ，在椭圆内的窄条面积和整条窄条面积的比率约为：

这是一个与 P(x,y) 位置无关的常数。当把所有这种窄条的面积加起来时，便得

（二） 椭圆的极坐标方程式

[ 图 8-22 ]
如 [图 8-22] 所示，椭圆上一点 P 有 (x,y) 和 两种表示方法，而 (x,y) 和 之间的转换可以用

来达成。把上面转换方法代入熟悉的椭圆坐标方程式 ，即得

因此 （ 是负值，它会以 P' 来描绘出椭圆）。为了方便以后的计算，我们取其颠倒式为椭圆极坐标方程式：

（三）第二定律的数理分析

以太阳（焦点）为中心，极坐标 表达行星位置。当 θ 增大到 时，太阳与行星的连线所扫过的面积为 ，如 [图 8-23] 所示

[ 图 8-23 ]
运用第二定律，这个面积的改变速率为常数，即：

注意在上面我们只是用了微积分的记号和想法，并没有用到深奥技巧。
[注]：从物理学观点来看，第二定律是有物理意义的。如 [图 8-24] 所示， 是动点 P 的位置向量， 是其速度向量：

[ 图 8-24 ]
是平行四边形 OPQR 的面积。但从物理学观点来看， 是物体相对于 O 点的角动量，因为是平面（椭圆）运动，此向量是恒垂直于平面的，所以由第二定律亦可得知角动量在行星运行中是不变的（这也是人类理性文明中首次接触到角动量守恒律）。再者，

所以引力 的作用方向是和 反向平行。
（四）温习： 和 的微分

从圆的简单几何性质和简单的物理观念，我们很容易便得出 和 的微分。其简单的推导如下：

[ 图 8-25 ]
如 [图 8-25] 所示，动点 P 在单位圆上作单位速率运动。用熟知的圆的参数表示方法，P 的坐标可写成 。另一方面，从几何观点得知速度向量应是垂直于半径，所以把图中的 平移至 再旋转 至 。这样，速度向量 在 , 的分量为：

但从物理学观点来说，速度向量 正是：

因此即得下面熟悉的公式：

（五）向心加速的公式：

上述公式只需对坐标 , 直接微分便可得出。计算过程大致如下：

因此

由（四）知引力的方向是平行于位置方向 ，所以 应该是 0，并只余下向心加速 。
（六）平方反比定律的证明（第一、第二定律的综合分析）

要证明引力是满足平方反比定律，我们只需验证 是否为一常数。先对椭圆的极坐标方程式微分：

在上式用了（三） 。同样地在下面的计算中，我们尽可能分离出 这一项，然后换成常数 。

因此 。
（七）由行星引力到万有引力

当牛顿想再进一步把行星与太阳之间的引力推广到任何物体与物体之间的引力，他遇到一个困难，使这位科学史上的巨人困扰了数年。由于行星与太阳之间的距离很大，所以在计算中可把行星和太阳当作两个质点，即可以假设质点集中了整个球体的质量；但当推广至任何物体与物体之间的情形，如苹果与地球，则便不可随便地把地球当作为一个质点了。牛顿遇到的困难，就是他不能证明的确可以把地球当作为质点的猜想。即使在 1684 年他的好友 Halley（哈雷）力邀牛顿发表已得的结果，他仍不愿意注3 发表。到了 1686 年，他终于成功地证明了上述猜想，即一个密度只随著到球心距离而变化的球体，在吸引球外一个质点时，所作用的力就像假设全部质量都集中在球心一样。在这年他写信给 Halley 表示同意写出他的工作，这就是在次年 (1687) 出版的科学巨著《自然哲学 注4 的数学原理》(Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) 。

牛顿在书中所给的证明是很繁复的。在这里，我们给出另一个证明，它巧妙地运用了球的几何特性而大大简化了计算过程。

对于一个球面的最自然、最对称的点当然就是球心。但是在研讨球面与球外一点的互相作用时，从几何观点来看，最自然、最对称的点就不再是球心，而是 [图 8-26] 的 P' 点（这是 P 相对于球面的反射对称点）。

[ 图 8-26 ]
设球体其中一层薄壳的半径为 R，面密度为 ρ，薄壳质量为 ，球外质点 P 的质量为 m 。考虑在薄壳上的一小片面积 dA 作用于 P 的引力 。因薄壳对于 OP 是旋转对称， 垂直于 OP 的分量会被对称小片 dA' 所作用力抵消，所以只需考虑 在 OP 方向的分量：

在直线段 上选 P' 使得 ，并以 P' 为心构造一个单位球面。令 P' 连向 dA 的射线在这单位球面上的影象为 。

[ 图 8-27 ]
如 [图 8-27] 所示，dA 和 之间有一个简单的关系：

因此，整个薄壳作用于 P 的力就是

因此这层薄壳作用于 P 的力就相等于将全部质量 M 集中于 O 而作用于 P 的力。再将所有薄壳作用的力加起来，便得所需之公式。

这也就是由 Kepler 行星运行定律的数理分析自然而然地推导出牛顿万有引力定律的一个简朴详尽的叙述。它就是牛顿的科学巨著 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica 中所讨论的主要结果。它也自然是后学后进应当心领神会，并从此体会人类理性文明世代相承，继往开来的精要和精神。