从推导的角度来看，根据胡克定律，F = kx，这是一个线性函数，做一次积分，就得到了弹性势能的表达式 E = kx^2/2，得到一个二次函数，所以从推导的角度来看这是非常简单的。

不过，其实没有必要把这种表达式看成是「推导出来的」，因为胡克定律本身只是一个经验定律，在经验定律的基础上做「推导」，最后还是得到经验定律。与其如此，不如将他看成是一个很自然的约定。

假如有一个很复杂的势函数，我们总可以用泰勒公式，在某一点附近将它不断展开，例如，下图展示了将正弦函数展开到一阶、三阶、五阶时的曲线图像，可以看到，展开的阶数越高，得到的函数就越接近原有的函数。

那么类似的，对于弹性势能的表达式，我们不知道它具体的形式应该是怎样的，但是我们还是可以对它来作展开，于是我们可以得到零阶项，一阶项，二阶项……把所有的项加起来，那么不管弹性势能的表达式有多复杂，它就都应该是可以描述的。

不过，仔细来想想看，弹性势能的表达式里，零阶项是什么意思呢？零阶项其实就是零势能点的选取，例如我可以选择地面为零势能点，也可以选择高楼顶端为零势能点。既然如此，所以零阶项是不存在的。

然后来看一阶项，如果有一阶项，就说明在零势能点附近，系统没有达到平衡，因为这个一阶项会驱动例子朝着降低势能的方向运动，对于弹簧这样的例子，在没有外力的情况下，它有一个平衡位置，所以这时候，它应该不存在一阶项。

没有了零阶项和一阶项，剩下二阶项，我们也就得到了弹性势能的表达式，在这个表达式里，二阶项的系数就是弹性系数，如果考虑非线性的弹簧，那么还可能会有一些更高阶的项。