学习量子力学和广义相对论需要哪些数学基础？
量子力学是研究微观粒子的运动规律的物理学分支学科，它主要研究原子、分子、凝聚态物质，以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论，它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。广义相对论是描写物质间引力相互作用的理论，它预言了引力波的存在，现已被直接观测所证实，此外,它还是现代宇宙学的膨胀宇宙模型的理论基础。量子力学可分为6个部分：薛定谔方程与波函数，势阱束缚态与势垒散射态，厄米算符与力学量，轨道与自旋角动量，氢原子与原子光谱，微扰论。
各部分需要的必备数学知识如下（括号中的不必备但能让理解更方便）：
薛定额方程：波动光学，常微分方程；
势场：常微分方程，（数理方法）；
算符：线性代数；
角动量：线性代数；
氢原子：数理方法，（高中化学）；
微扰论：高等数学。广义相对论所需要的数学知识如下：基础数学分析，线性代数，空间解析几何 ，微分几何，流形学，黎曼几何，张量分析，微分拓扑学
除了初等数学、微积分、复分析等以外，还需要熟练掌握与电动力学相关的矢量场与标量场的操作基本功。摘要如下。以下分享一些最重要的。
理论简介：
光电动力学的超对称原理，主要是指电荷参量(E,D,H,B)与光子参量(m₀,r₀,λ,f)之间的超对称关系，进而可以把电动力学方程，变成以光子为计算单元的量子力学方程。
理论依托：
三大实验定律，①库仑电荷作用力定律、②安培电流磁效应定律、③法拉第电磁感应定律，
1.1 矢量乘法
两个矢量A与B在正交轴的分矢量是(A₁A₂A₃)与(B₁B₂B₃)，记作：
A=A₁ε₁+A₂ε₂+A₃ε₃=ΣAiεi (i=1~3)
B=B₁ε₁+B₂ε₂+B₃ε₃=ΣBiεi (i=1~3)......(1.1-1)
式中，εi是基矢。基矢下标(1,2,3)代表直角坐标(x,y,z)或球面坐标(r,θ,φ)。
矢量乘法包括：点乘、叉乘、张量积。
1.1.1 点乘或标量积→标量
A·B=ABcosθ......(1.1-2)
AB叫标量积或模之积，θ叫转角或幅角。
交换律：A·B=B·A......(1.1-3)
结合律：mA·nB=mnAB......(1.1-4)
分配律：A·(B+C)=A·B+A·C......(1.1-5)
Rt系中：A·B=A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃......(1.1-6)
1.1.2 叉乘或矢量积→矢量
A×B=ABsinθn......(1.1-7)
n是从A转向B且按右手螺旋前进的单位矢量。
互反律：A×B=-B×A......(1.1-8)
分配律：A×(B+C)=A×B+A×C......(1.1-9)
Rt系中：A×B=△₁ε₁+△₂ε₂+△₃ε₃......(1.1-10)
其中：
△₁=A₂B₃-A₃B₂, △₂=A₃B₁-A₁B₃, △₃=A₁B₂-A₂B₁
例1. 点差乘=标量
A·(B×C)=C·(A×B)=B·(C×A)......(1.1-11)
按循环次序轮换，三矢量有轮换对称性。
例2. 三叉乘=矢量
A×B×C=B(A·C)-C(A·B)......(1.1-12)
1.1.3 矢量的张量积=度规张量积
又叫并矢，即两矢量A,B并列,中间无点叉。
τ=AB=ΣAiBjεiεj......(1.1-13)
详见张量简介。
1.2 标量场的梯度=矢量
物理参量的空间分布叫场。标量场，如温度场、能量场、电势场。矢量场，如电场强度之E场、磁感应强度之B场。
温度场描述空间各点温度，T(xyz)是温度场函数，若从某点出发经过dl之后，有
dT=əT/əxdx+əT/əydy+əT/əzdz......(1.2-1)
∵ dl=dxεx +dyεy+dzεz，ε是单位矢量
∴ dT=(əT/əxεx+əT/əyεy+əT/əzεz)·dl
即：dT=(▽T)·dl=|▽T||dl|cosθ......(1.2-2)
式中▽T=əT/əxεx+əT/əyεy+əT/əzεz，叫温度场T(xyz)的梯度。
当dl沿▽T方向径向运动时θ=0，dT最大。▽T值，就是场T(xyx)在该点的最大变化率。最大变化率的方向就是▽T的方向。
梯度▽是带单位矢量的微分算符，只能对右方函数有意义。▽既是矢量又是算符。
写成：▽=ə/əxεx+ə/əyεy+ə/əzεz
或：▽=εxə/əx+εyə/əy+εzə/əz...(1.2-3)
1.3 矢量场的(高斯)散度定理
场F(xyz)通过曲面的通量=场对各点P(xyz)面元dS的积分：
开曲面的场通量：Φ=ʃʃ F·dS......(1.3-1)
闭曲面的场通量：Φ=ʃʃ₀F·dS......(1.3-2)
1.3.1 单位空间通量极限——散度(标量)
▽·F=ʃʃ₀F·dS/△V(→0)......(1.3-3)
若▽·F>0，叫有源场；
若▽·F=0，叫无源场；
若▽·F