用积分

硬棒的长度是r （在这里就是半径）

转动惯量的公式是mr²，但是这是对于一个质点来说的。

整个棒的转动惯量应该用棒上的所有质点的和

将均匀硬棒分为 r个部分 那么每个部分（假设是一个质点）质量为k

积分号 kr²dr 上下积分极限分别是 r 0

=kr³/3

然后又因为是把整个物体的质量当成r份微元。

那么 kr=m

所以装转动惯量是 mr²/3

半球面与在球心质点的引力怎么算？

肯定是二重积分啦，在球面上选一微元面积，ds=r^2dθdφ，x=rcosθcosφ,y=rcosθsinφ,z=rsinθ;将dF在x.y.z三个方向上投影，在分别对两个角积分，θ从0到π/2,φ从0到2π，完毕！

取离开地面无限远处重力势能为0，设地球的质量为M，半径为R，万有引力恒量为G，距地面高为h，质量为m的人

引力势能为E1=-G*M/（R+h)
这需要万有引力公式从R到无穷进行积分.mgh这个重力势能公式只是一个h很小时候的近似式，因为此时可以认为重力近似不变，随着距离不断增大，重力加速度g是按平方反比的关系减小的.上大学会学到.不知道是不是大学生

地球内部的万有引力怎样计算?

地球的万有引力,只要知道地球内部的质量分部就可以了.
通常认为是匀均的.也就是地球内部各处密度相等.

建立一个坐标系,球坐标,r为离地心的距离.

在地球内部的某点,离地心距离为r0,这个点把地球分为两部分,里面,和外面.外面相当于是r>r0的那个部分,内部是rr0的那个部分,引力是抵消的,也就是说那部分没有引力.
只算内部的,把球分成一层一层的,每个层都与所求点与球心的连线垂直,然后一层一层的积分.每一层,可以看作与点距离相等,在这个层上面,在偏离点-球心连线方向上,引力都抵消,只算在那条线上的就可以了...
求在线上的引力时,要对那个面积分.
最后,是一个面积分+一个线积分.也就是一个体积分了.
你听明白了吗?
这里写算式太麻烦了.
你又给这少分...把上面的理解就应该可以列出式子了.

关于在用定积分分析引力做功时出现的疑问与引力势能在质点位置变化时的变化问题。

我想是因为建立的坐标虽然力的方向是正的，但是dr还是负的。dr的含义是半径的变化量，从远处到近处，积分变化量dr本身就是负值，所以dW本身也就是负值，最后求出的叠加值（定积分）也就是负值，所以应该在函数中加负号。
在利用数学知识时，首先要注意物理意义，数学上是不谈什么正负功的，所以首先要把功的正负写正确。
假设你现在要计算从A到B做的功，因为是负功，所以积分函数是-GMm/r^2，此时dr是正值，结果dW就是负值，定积分结果自然也是负值。

感谢山太阳0在的回答。