y'+y/x=(y/x)^2
令y/x=u，则y'=u+xu'
所以u+xu'+u=u^2
xdu/dx=u^2-2u
du/(u^2-2u)=dx/x
两边积分：∫du/[u(u-2)]=ln|x|+C
左边=1/2∫(1/(u-2)-1/u)du
=1/2ln|(u-2)/u|+C
所以ln|(u-2)/u|=2ln|x|+C
(u-2)/u=1-2/u=1-2x/y=Cx^2
2x/y=1-Cx^2
y=2x/(1-Cx^2)

关于积分的物理证明（引力势能）

势能等于该点到0势能点移动过程中引力所做的功，
而该功由于力随位移改变而变化，所以必须用积分（或微元法，本质是一样的）计算，所以引力势能的公式本身就是积分算的，只是教科书中直接给出了结论罢了，无所谓证明不证明

引力势能积分公式

引力F=GMm/r^2,定义无穷远处引力势能为0,则距离R处引力势能为：物体从R处到无穷远引力所做功,为积分(-GMm/r^2)dr,（r从R到正无穷）,注意,此时引力做负功.积分结果就是E=-GMm/R .具体积分过程我没法写,也就一个积分公式,也没什么可写的,自己应该会些吧.
关于积分的过程,我不可能在这儿能给你说清楚,直观的,你作一个F=GMm/r^2的函数图,曲线从r=R1到r=R2之间,曲线下方的面积就是积分结果.至于你所给的那个公式,问为什么r刚好等于地球半径,我实在猜不出你说的是一个什么物理过程,没说明物理过程的物理公式通常比较没意义,当然E=mC^2这种东西除外.
你最好直接追问在相应的回答下,这样他们比较容易看到.