“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了，如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那正是在这里。” ——恩格斯

牛顿因其运动定律的发现与微积分的发明，被誉为有史以来最伟大的物理学家，而牛顿在世的时候，更是被当时的人们誉为仅次于上帝的人。那么它何以享有如此之高的称号呢，就是因为他发明的理论完美地解释了宇宙万物的运动规律。在17世纪，欧洲文明才刚刚从中世纪的阴霾中苏醒，人们普遍认为大地星辰都是上帝的杰作，按照上帝规定的法则来运行。然而一个叫牛顿的凡人却发现了这些法则，因此人们把牛顿当神一样来崇拜。那么，牛顿的理论是如何解释了天体的运行呢，最具有代表性的一个例子就是大名鼎鼎的“开普勒三定律”开普勒三定律的提出是一个漫长的历史过程。自古希腊一直到中世纪，人们始终坚持“地心说”的观点，以希腊晚期天文学家托勒密（ClaudiusPtolemaeus，约100年—170年）为代表。他在著作《至大论》中全面阐述了“地心说”的理论模型，该书成为主导西方1000余年的天文学标准教材。但是随着人类天文观测手段的不断进展，有越来越多的证据表明地心说并不成立。直到1543年，波兰伟大的天文学家哥白尼（Nikolaj Kopernik，1473—1543年）发表了名著《天体运行论》，提出了“日心说”的观点，掀起了西方科学史上著名的“哥白尼革命”。随后，丹麦诞生了另一位伟大的天文学家第谷（Tycho Brahe，1546—1601），他以当时人们科学技术难以企及的精度，取得了大量的天体运行观测资料，而他的学生开普勒（Johannes Kepler，1571—1630），则利用老师留下了这笔宝贵的资料，加上自身的勤奋与天赋，取得了惊人的成就。

开普勒一开始和前人一样，认为宇宙天体绕中心天体运行的轨道是完美的圆形。但是他按照不管是托勒密还是哥白尼，乃至自己老师第谷给出的计算方法，得到的数据与老师资料中的观测数据均不相符。于是一个大胆的想法在他心中逐渐形成，他放弃了行星轨道是圆形这一固有观念，认为实际应该是一个椭圆。此为基础经过大量的计算，开普勒在1609年和1619年相继发表了《新天文学》和《宇宙谐和论》，提出了著名的关于行星运动的“开普勒三定律”，并因此赢得了“天空立法者”的美名。开普勒三定律的完整叙述如下：

1.所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。

2.行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过相等的面积。

3.所有行星绕太阳一周的周期的平方与它们轨道半长轴的立方成比。即

其中，T表示行星运行的周期，a表示半长轴，C是某个常数。

开普勒虽然提出了三定律，但由于当时数学工具有限，他并没有给出严格的证明。而直到牛顿提出了万有引力定律，并发明了微积分之后，才利用这种新兴的数学工具，给出了开普勒三定律的证明。下面就来介绍一下是怎样证明的。

首先需要一些预备知识。

1.离心率与圆锥曲线的极坐标形式设F是平面上一个固定的点，l是平面上一条固定的直线。我们再选定一个固定的常数e，那么到点F的距离和到直线l的距离的比值恒等于e的点就形成一条轨迹。根据e取值的不同，轨迹呈现不同的形状。结论就是：

当e=1时，曲线是抛物线。

当e1时，曲线是双曲线。

我们称F为焦点(focus)，l为准线(diretrix line)，e为曲线的离心率。同时我们也知道e=c/a

证明：当e=1时，曲线很明显就是抛物线，因为这就是抛物线的定义。

当e≠1时。我们以F为原点，以与准线垂直的方向为x轴，建立直角坐标系，同时也把它看成是原点为极点，x轴为极轴的极坐标系，并用字母d表示原点与准线的距离。在曲线上任选一点P，如上图，P到F的距离就是r，P到准线的距离就是d减掉P的横坐标，而P的横坐标就是r·cosθ，再根据两个距离比值等于e就可以列出式子:把式子两边平方一下

我们知道，在极坐标系中：r²=x²+y²，并且rcosθ=x，因此式子就变成当e>1时，把式子拆开，再对x和y进行配方我们把上面这个复杂的公式里边某些量设成简单的字母：于是整个式子就变成了

而这很明显就是一个椭圆了

同样对于e