万有引力定律是在开普勒发现行星第三运动定律，即周期定律是发现的，你的课本是什么教材，在江苏省现在的高三的那个高一教材好象说得很明白的。不妨借来看看。当然，如果你有需要，我也可以帮你讲。
开普勒第三定律a^3/T^2对任何行星都是相等的。a是行星椭圆运动轨道的半长轴，T是运动周期。然后牛顿在简单的圆周运动上考虑，有加速度v^2/a,而万有引力F=mv^2/a=m(2paia/T)^2/a
=m4pai^2a/T^2=m4pai^2(a^3/T^2)(1/a^2)
你发现了吗，对于不同的a，力与m/a^2成正比，因为a^3/T^2是一个常量，所以你的教科书上这么写，这么来的。
很累，给点加分不为过吧？
上面只是推导，真正要证明万有引力的正确性需要高等数学，我就不多说了，有兴趣的到我的博客看看。

请问，如何从万有引力公式（F=GmM/r²）得到F=mg的？

你可以这么理解

在地球表面，那个引力就是 F=GMm/R^2
那个GM/R^2 是一个常数，也就是说地球表面引力和质量 m 成正比，我们把比例系数记成 g 就更方便了，那么就是mg。
另外，提一下，那个重力并不是万有引力，是万有引力的一个分力，另一部分是提供物体绕地轴自转向心力。

地球引力有多少个？

引力只有知道了产生引力的两个物体的质量和它们之间的距离，才能计算，如果只给地球一个物体，是不能计算的。地球的引力也不是不能表示，由于地球的引力作用，产生了一个作用效果，那就是地球附近的物体都有了重力。表示地球表面引力大小的一个标志就是重力加速度：g=9.8m/s^2。引力的计算公式是：F=Gm1m2/r^2。上式中，G是引力常数，m1、m2是产生引力的两个物体的质量，r是两物体的距离。

一个物体对质点的引力怎么求？

一个物体A对质点B的引力，在滿足一定条件时可直接由万有引力求出。滿足的条件是:A物体也能被质点化。(在不影响计算结果时A的形状，大小可忽略不计，或A的大小跟A，B相距相比很小)此时可将A的质心到B质点的距离视为r，代入引力公式F=GMm/r^2计算。但当不能滿足上述条件时，可将A分成若干个部分，分别求出各部分对质点B的万有引力，然后求出它们的矢量合。也可算出物体A对质点B的引力。