微分表达式中的变量替换
1.单变量函数
设y=f (x),并有一个含有自变量、因变量及其导数的表达式
H=F(x,y, L ,,2
x
x
yy ′ ′ ′ )
当作变量替换时,各导数可按下列方法计算:
[作自变量变换的情形] 设变换公式为
x= )(t ϕ
这时 t
t
x
x
y
y
′
′
= ′ ,
3
2 2
2
t
t
ttt
x
x
yxyx
y
′
′ ′ ′ − ′ ′ ′
= ′′
5
) (3) ( 2 2 2 3 3
3
t
t
ttt
t
t
tttt
x
x
yxyxxyxyxx
y
′
′ ′ ′ − ′ ′ ′ ′ ′ − ′ ′ ′ ′ − ′ ′ ′ ′ ′
= ′′′ (1)
………………
[自变量和函数都作变换的情形] 设变换公式为
x= ),(ut ϕ ,y= ),(ut ψ
式中t为新的自变量,u为新的函数.
这时,由复合函数的微分法则得到
tutt u x ′ ′ + ′ = ′ ϕ ϕ ,
tutt u y ′ ′ + ′ = ′ ψ ψ
2 2 2 2
2
)( 2
t u t u ttu tt uuu x ′′′ + ′′′ + ′′′ + ′′ = ′′ ϕϕϕϕ
2 2 2 2
2
)( 2
t u t u ttu tt uuu y ′′′ + ′′′ + ′′′ + ′′ = ′′ ψϕψψ
…………………………
把这些式子代入公式(1),即得结果.
2. 多变量函数
[作自变量变换的情形] 设z=f (x,y),并有一个含有自变量、因变量及其偏导数的表达式
H=F(x,y,z,
x
z
∂
∂
,
y
z
∂
∂
,
2
22
2
2
,, y
z
yx
z
x
z
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
,…)
变换公式为
x= ),(υ ϕu ,y= ),(υ ψu
式中u和υ为新的自变量,则偏导数
x
z
∂
∂
,
y
z
∂
∂
由下列方程确定:
u
z
∂
∂
=
x
z
∂
∂
u ∂
∂ϕ
+
y
z
∂
∂
u ∂
∂ψ
υ
ψ
υ
ϕ
υ ∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
y
z
x
zz
其它高次偏导数也可仿此求出.
[自变量和函数都作变换的情形] 设变换公式为
x= ),,( wuυ ϕ ,y= ),,( wuυ ψ ,z= ),,( wuυ χ
其中u, υ为新的自变量, w=w(u,v)为新的函数,则偏导数
x
z
∂
∂
,
y
z
∂
∂
由下列方程确定:
x
z
∂
∂
u ∂
∂ϕ
( +
u
w
w∂
∂
∂
∂ϕ
)+
y
z
∂
∂
u ∂
∂ψ
( +
w ∂
∂ψ
u
w
∂
∂
)=
u ∂
∂χ
+
w ∂
∂χ
u
w
∂
∂
υ
χ
υ
χ
υ
ϕ
υ
ϕ
υ
ϕ
υ
ϕ
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
= ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂ w
w
w
wyzw
wxz
其他高次偏导数也可仿此求出.
注意,当H内出现的不是个别的偏导数,而是已给阶次的全部偏导数,那末求逐次偏导数时
利用全微分比较方便.