第三十七章：爱因斯坦场方程讲了些什么

当你看到这个标题的时候，我希望你和我一样是激动的，而不是厌烦的。去想象爱氏本人是如何写出这个方程，对我们来说也有身临其境的美感。

我和你们一样，我其实不懂它是怎么得出来的，但我还是想带你们一起来了解一下爱氏场方程。

它从一诞生就注定了在争议中成长，这不是悲哀，是人类的骄傲。在开始介绍内容的时候，我要告诉大家一句居里夫人说的话：“在生命中，没有什么值得害怕的事情，只有值得去理解的事情。”

对于爱氏的场方程，我们也应该这样。不要害怕你看不懂的东西，去勇敢的接近它，理解它，才是真的。

哪怕是爱氏自己对自己的方程，其实也不是那么了解。不然爱氏不会说：“想象力比知识更重要！”去看看爱氏场方程的建立，和后续的解方程历史，你们就会赞同我说的话。

爱氏场方程如下图所示：

还可以写成这样，两者是一样的【字写的不好，大家见谅】：

其中

· G_uv}称为爱因斯坦张量。

· R_uv是从黎曼张量缩并而成的里奇张量，代表曲率项，表示空间弯曲程度。

· R是从里奇张量缩并而成的标量曲率(或里奇数量)

· g_uv是从(3+1)维时空的度量张量；

· T_uv是能量-动量-应力张量，表示了物质分布和运动状况。

· G是引力常数，

· c是真空中光速。

整个方程式的意义是：空间物质的能量-动量（T_uv）分布=空间的弯曲状况（R_uv）。

爱氏以此推断引力的成因是时空弯曲。但我不这样推断。看过我前面内容的朋友，应该知道我认为引力的本源是时空，不是时空弯曲。

时空是弯曲的，但不是时空弯曲产生引力。空间物质的能量-动量（T_uv）分布等于空间的弯曲状况（R_uv），是在描述空间的状态，不是说空间的弯曲状况（R_uv）产生了引力。

等于和产生是两个概念，爱氏就是受时空背景影响而产生这样的推理。而我是从引力质量和惯性质量严格相等，以及弯曲的时空不能量子化，得到启发，从而提出引力的本源是时空！

接着回到爱氏场方程，我并不奢望大家都可以深刻认识场方程，更不会让大家推理，我们都需要学习的东西太多了。但我希望大家对这个方程有直观的认识，有感官上的想象，去理解方程里牵涉到些什么东西，然后你可以想象宇宙会是咋样的？ 也是一件美不可言的事情。

但是大家看到了，这个方程是一个二阶非线性张量方程，还是复杂的。我们有必要了解基础的专业名词，再来看场方程。这也是我要给大家科普的东西。

1、什么是标量：物理学中，标量（或作纯量）指在坐标变换下保持不变的物理量。

如质量、密度、温度、功、能量、速率、体积、时间、热量、电阻、功率、势能、电势能等物理量。无论选取什么坐标系，标量的数值恒保持不变。

我在本书《变化》第三十五章《时间的本质说明》一文中曾指出，物理学中的基本物理量，比如质量，时间，温度都是标量，这在我看来是有深意的，那就是最基本的标量都是和时空“挂钩”，都显示出了最基本层面的描述以及应用范围。所以把它们一个个深挖，是非常有必要的。

2、什么叫矢量：有些物理量，既要有数值大小（包括有关的单位），又要有方向才能完全确定。这些量之间的运算并不遵循一般的代数法则，而遵循特殊的运算法则，这样的物理量叫作矢量。

力矩、线速度、角速度、位移、加速度、动量、冲量、角动量、场强、速度等都是矢量

3、什么叫动量：在物理学中，动量是与物体的质量和速度相关的物理量。

一般而言，一个物体的动量指的是这个物体在它运动方向上保持运动的趋势。动量是矢量，用符号p表示。公式是p=m·v。

说到动量，大家一定记得动量守恒定律：一个系统不受外力或所受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变，这个结论叫做动量守恒定律。

这里还值得一提是：动量守恒定律和能量守恒定律以及角动量守恒定律一起成为现代物理学中的三大基本守恒定律。最初它们是牛顿定律的推论， 但后来发现它们的适用范围远远广于牛顿定律，是比牛顿定律更基础的物理规律， 是时空性质的反映。其中，动量守恒定律由空间平移不变性推出，能量守恒定律由时间平移不变性推出，而角动量守恒定律则由空间的旋转对称性推出。

众多守恒定律，也是我不支持爱氏宇宙有限的理论观点。这个我在前面也提到过，即宇宙在时间和空间上都是无限的。

而且守恒定律不仅在宏观领域成立，在量子力学领域也成立。比如通过β衰变，使得中微子的发现说明，能量守恒定律在微观领域里也是完全适用的。

4、什么叫能量：能量是物质运动转换的量度，简称“能”。世界万物是不断运动的，在物质的一切属性中，运动是最基本的属性，其他属性都是运动的具体表现。能量是表征物理系统做功的本领的量度。

爱氏拓宽了我们对物质和能量的认识。能量（energy）是质量的时空分布可能变化程度的度量,用来表征物理系统做功的本领。现代物理学已明确了质量与能量之间的数量关系，即爱因斯坦的质能关系式：E=mc2。

5、什么叫张量：张量是一个定义在的一些向量空间和一些对偶空间的笛卡儿积上的多重线性映射，其坐标是|n|维空间内，有|n|个分量的一种量， 其中每个分量都是坐标的函数， 而在坐标变换时，这些分量也依照某些规则作线性变换。r 称为该张量的秩或阶（与矩阵的秩和阶均无关系）。

张量之所以重要，在于它可以满足一切物理定律必须与坐标系的选择无关的特性。这也是为相对论研究相对时空下的不变性做了基础数学奠基。张量概念是矢量概念的推广，矢量是一阶张量。张量是一个可用来表示在一些矢量、标量和其他张量之间的线性关系的多线性函数。

在同构的意义下，第零阶张量 （r = 0） 为标量 ，第一阶张量 （r = 1） 为向量 ， 第二阶张量 （r = 2） 则成为矩阵 。

上面说了，爱氏的场方程是一个二阶张量方程，也就是意味着爱氏的方程可以写成矩阵方程。我们现在看到的是简洁的方程。

从代数角度讲， 它是向量的推广。我们知道，向量可以看成一维的“表格”（即分量按照顺序排成一排），矩阵是二维的“表格”（分量按照纵横位置排列）， 那么n阶张量就是所谓的n维的“表格”。张量的严格定义是利用线性映射来描述的。与矢量相类似，定义由若干坐标系改变时满足一定坐标转化关系的有序数组成的集合为张量。

爱氏理论的建立也得益于张量分析的发展，广义相对论完全由张量语言表述，爱因斯坦从列维-奇维塔本人那里学了很多张量语言。甚至可以这样说，没有张量语言的发展，爱氏的弯曲时空理论，就缺乏描述工具，不能建立。而且我在此书的开头也说过，爱氏的理论受马赫原理启发很大。所以一个伟大的天才，也需要出现在恰当的时间和地点，才能成就伟大的事业！

爱氏的场方程是一个非线性二阶张量方程，用黎曼几何来描述时空背景。我特性注重要用“非线性”三个字，实在是我的哲学理念就是这样认为宇宙的。

宇宙是非线性的，我甚至将我的散文集命名为《非线性波动》，也是时刻告诉自己，一定要有坚持的观点。对于宇宙是非线性的系统我从不怀疑，而爱氏的理论正好也是这样的，所以我不否认爱氏理论的正确性。从各个哲学角度来讲，也应该是这样的。这是我在写这本书开头的时候就说了。

爱氏在描述和理解上出了问题，也引导了后来的人也这样理解和描述。所以我觉得有必要提出另一种声音，对这个方程有正确的理解。

就好像说创造汽车的人，却不是车技最好的人。任何一个时代人，都要相信这个时代最伟大的人物还没有诞生。我在诗歌里也是这个歌颂的！

我们还需要对黎曼空间，也就是张量分析做一个了解。只是了解，不要厌烦。真正从数学方面去深入了解，我自己也做不到。这点我得承认。

黎曼几何和区别于欧氏几何的，实际上它是欧氏几何的发展。欧氏几何是把认识停留在平面上了，所研究的范围是绝对的平的问题，认为人生活在一个绝对平的世界里。因此在平面里画出的三角形三条边都是直的。两点之间的距离也是直的。

但是假如我们生活的空间是一个双曲面，这个双曲面，我们可以把它想象成一口平滑的锅或太阳罩，我们就在这个双曲面里画三角形，这个三角形的三边的任何点都绝对不能离开双曲面，我们将发现这个三角形的三边无论怎么画都不会是直线，那么这样的三角形就是罗氏三角形，经过论证发现，任何罗氏三角形的内角和都永远小于180度，无论怎么画都不能超出180度，但是当把这个双曲面渐渐展开时，一直舒展成绝对平的面，这时罗氏三角形就变成了欧氏三角形，也就是我们在初中学的平面几何，其内角和自然是180度。

黎曼几何作为非欧几何的一种,它与罗巴切夫斯基几何相比，有着实质性的不同。罗氏几何主要工作是建立了一整套区别于欧几里得的《几何原本》的逻辑体系； 而黎曼几何的核心问题是以微分几何为基础,建立曲线坐标系中的微分方法。

罗氏几何是第一个被提出的非欧几何学，它的基本观点是： 第一,第五公设不能被证明; 第二，可以在新的公理体系中展开一连串推理,得到一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，形成新的理论。

罗氏几何学的公理系统区别于欧式几何学之处,仅仅是把欧式几何平行公理改为: 从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行。黎曼几何与罗氏几何的平行公理相反： 过直线外一点,不能做直线和已知直线平行。也就是说，黎曼几何规定: 在同一平面内任何两条直线都有公共点,黎曼几何学不承认存在平行线。

很自然就有另一条公设： 直线可以延长至任意长度，但长度是有限的,这可以类比为一个球面。黎曼几何是通过微分几何的途径建立起来的，因此与罗氏几何根本不同。

黎曼几何学的公理体系引进了一种弯曲的几何空间(它可以通过拉梅引进的曲线坐标系描述),黎曼在构想这种几何学的时候，就想设法建立起相应的代数结构。这个目标黎曼本人没有实现,但沿着他开辟的道路，克里斯托夫和里奇完成了新几何学的构建。换句话说,张量分析构成了黎曼几何学的核心内容。

这表现在若干方面:

1.黎曼空间中的曲率是一个张量，其有关运算需采用绝对微分法； 2. 黎曼空间的度量以度量张量表达;

3. 黎曼空间的平行定义为标积保持不变(即与曲线的夹角保持不变),依赖克里斯托夫符号；

4. 黎曼空间的直线(短程线)方程的建立依赖协变微分。正因为有了张量分析这个工具，黎曼几何才获得了类似于微积分一样的计算功能,从而摆脱了停留在逻辑构造层面上的束缚，从根本上与微分几何实现了传承,并实现了微分几何从直线坐标系到曲线坐标系的进步，使得几何学与代数学更紧密地联系起来。

要而言之,张量分析的产生一方面是向量分析的推广，另一方面是微分几何的发展推动。张量分析与黎曼几何在相互交织中发展,互相促进。

了解完了这个知识点之后，我们还需要了解下面这几个点：

6、什么叫曲率：曲线的曲率就是指曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。

数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值。曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。曲率的倒数就是曲率半径。

例如在曲线CD上点A和临近一点A'各做一条切线，A和A'之间的弧长为ΔS，两条切线夹角为α，则曲线CD在A点的曲率为右图。

这一章关于爱氏场方程的介绍，就到这里。后面的章节还会为大家介绍和重新解构场方程。了解最基本的概念，是为了有更准确，更直观的想象。

摘自独立学者，科普作家，国学起名师灵遁者物理宇宙科普书籍《变化》第三十七章。

爱因斯坦场方程就是引力场方程，是用来计算时空曲率与能量动量的对应关系。

方程最左边的Gμv是爱因斯坦张量，是描述时空曲率的，也可以说是描述引力的，因为爱因斯坦认为引力其实只是时空弯曲的表现，因此引力场方程也称为爱因斯坦场方程。事实上在引力场方程发表以前，爱因斯坦已经明确了两者的关系。

Rμv是代表曲率的里奇张量，它是由四阶的黎曼张量压缩得到的一个二阶张量。大家都知道广义相对论所用的是黎曼几何，所以描述时空曲率的张量应该是黎曼张量，然而描述时空的黎曼张量是一个四阶张量，而与其对应的能量动量张量却是一个一阶张量，这样两者无法建立对应关系，后来爱因斯坦把能量动量张量插值成二阶张量，结果一个四阶一个二阶，还是无法建立对应关系，所以决定压缩黎曼张量，但爱因斯坦自己搞不定，刚好有个数学家里奇帮他完成了这项工作。(◔◡◔)

gμv是度规张量，是定义时空度规的。这里可以设置时空的维数，当然默认就是四维。要解引力场方程必须先设置合适的时空度规。

R是里奇曲率标量，就是二阶里奇张量的再度压缩得到的。

方程最右边π是圆周率，G是万有引力常数，c是光速常数。

Tμv是能量动量张量，按照E=mc²，这里就是平常说的物质了。它本身只是一个矢量，相当于一个一阶张量，这是没法与曲率张量形成对应关系的，前面说了，爱因斯坦通过插值把它弄成二阶张量了。

在一开始，广义相对论除了有引力场方程，其实还有一个运动方程。所以有一句总结相对论的话：物质告诉时空怎样弯曲，时空告诉物质怎样运动。但后来爱因斯坦发现运动方程其实也能直接从引力场方程导出，所以现在广义相对论只有一个方程——引力场方程。

不过只有一个方程很容易让人对它产生误会，以为它很简单，像狭义相对论方程一样简单。然而我们不要忘记这是一个以张量形式写成的方程，它实际上包含了10个二阶非线性偏微分方程，含有16个自变量，要求解是异常困难的。所以早期基本都是采用简化条件和弱场近似来求解。比如史瓦西解就是设置为静态引力场得到的，而引力波方程也是设置为弱引力场下得到的，正因如此爱因斯坦认为引力波是不可能探测到的，因为前提就被他弱化了╮(╯_╰)╭所以他认为引力波是炒鸡弱鸡的←_←他没想到宇宙中还有黑洞这种变态_(:D)∠)_