题主你好。这两定律你只能证明一个，另一个要作为公理使用。原因很简单，万有引力定律是开普勒定律的本质，而开普勒定律是万有引力定律的自然结果。二者不能同时被证明，只能由一个推导出另一个。从历史上看，开普勒定律是从第谷的观测数据里总结出来的，所以开普勒定律是一个经验规律。而牛顿的万有引力定律则是牛顿根据向心力公式和椭圆轨道的几何性质，结合开普勒定律自然推出来的。具体推导过程，牛顿在他的书里写的很清楚，有时间题主去看看《自然哲学的数学原理》。但是牛顿没有用现代意义上的微积分来证明他的结果，而是用几何学的办法。证明过程十分复杂。

下面我们来讨论，如何用微积分从开普勒定律里推导出牛顿的万有引力定律。这个工作说简单其实十分简单，说难又很难。题主如果学过大学物理，那么这个问题就很简单；如果没有，那这个问题就很难。小编在这里说一下思路。

先证明开普勒第二定律等价于角动量守恒。证明很简单，这里略掉。接着证明角动量守恒的势能是保守势能，这一点力学书里有介绍，不去赘述。因此，由此可以把天体间的引力写成是径向距离、方向角的函数F(r,φ)，方向沿着矢径方向。接下来建立坐标系，坐标系x轴平行椭圆的长轴，y轴平行于短轴。将坐标原点选在中心天体的质心上。然后把引力分解成x方向和y方向的分量，分别使用牛顿第二定律（这里就引入了二阶微分方程），再利用角动量守恒，将方向角的导数项全部消去。这样就能得到引力大小关于径向距离的微分方程。对比方程左右两边，便可以确定F(r,φ)。此外可以发现，这里面有两个未知数，但是它们却是以比值的形式出现在F(r,φ)里，从普适性角度看，应该只有一个理论无法确定的比例常数——牛顿引力常数。具体计算，请题主自己完成。里面除了求导数没有别的计算。最后的答案就是F(r,φ)=C/r^2。

从今天来看，牛顿的证明方法过于复杂，借助力学的一般理论，可以很简单的得出万有引力定律。但是要注意一点，万有引力定律不是定理，上面的推导仅仅是证明了万有引力定律和开普勒定律的等价性，所以从逻辑学的角度看，必须要选择一个作为公理使用，另一个作为定理。从简单性、普适性的角度出发，将牛顿万有引力定律作为公理，而开普勒定律作为定理。但是要注意，物理是两重标准的，仅仅逻辑自洽是不够的，还需要实验证明。实验最早证明的是开普勒定律，所以它是定律，后来万有引力定律也被证明了，因此它也是定律。