1962年12月22日印度发行弓一张纪念邮票。这张邮票是为纪念印度的「国宝」锡里尼哇沙‧拉玛奴江（Srinivasa Ramanujan）诞生七十五周年而发行的。 拉玛奴江是一个生於南印度没落的贫穷婆罗门家庭，没有受过大学育，靠自学及艰苦钻研数学，后来成为一个闻名国际的数学家。 在数学家中，以贫穷家庭出身，而且能在没有研究数学的环境裏，孤独的工作，发现了一些深入的结果的人是不太多。他到了二十七岁时才获得真正数学家的教导，他的才华像彗星突然出现长空，耀眼令人侧目。可惜的是肺病却蚕食了他的生命，他在三十三岁时悄然逝去。 他是淡米尔人，生於1887年12月22日，父亲是一间布店裏的小职员。小时候他大部份的时间是在祖母家裏度过。从小他就喜欢思考问题，曾问老师在天空闪耀的星座的距离，以及地球赤道的长度。在十二岁时始对数学发生兴趣，曾问高班同学：「什麼是数学的最高真理？」当时同学告诉他「毕达高拉斯定理」（即中国人称「商高定理」）是可以作为代表，引起了他对几何的兴趣。 有一天一个老师讲：「三十个果子给三十个人平分，每一个人得到一个。同样的十四个果子给十四个人平分，每一个人得一个果子。」从这裏老师下了结论：任何数给自己除得到是一。拉玛奴江觉得不对，马上站起来问：「是否每一个人也得到一个？」这时数字的奇妙性质引起了他的注意，也差不多在这个时候他对等差，等比级数的性质自己作了研究。 在十三岁时，高班的同学借给他一本Loney 的〈三角学〉一书（以,前，有一些学校采用此书为高中课，中译本书名为〈龙氏三角学〉），他很快把整夬书的习题解完。第二年他得到了正弦和余弦函数的无穷级数展开式，后来他才知这是著名的Euler 公式，他心中有点失望，於是把自己结果的草稿，偷偷地放到裏的屋梁上。 他十五岁时，朋友借给了他二厚册英国人卡尔（Carr）写「纯数的应用数学基本结果大要」一书。这书是写得相当枯燥无味的，罗列了在代数、微积分、三角学和解析几何的六千个定理和公式。这本书对他来说是本好书，他自己证明了其中的一些定理，而以后他研究的基础全是这书给出的。 在1930年他进入了家乡的政府学院，由於贫穷和入学试成绩优越，他获得奖学金，可是在学院裏他太专心於自己善羑的数学，而忽略了其他科目，结果年考不及格而失去了奖学金。在1906年他转到另外一间学院读二年级并参加1907年的「文科第一考试」，。是又失败了。 在1907年到1910年之间，他住在外面，找不到任何工作，有时替朋友补习以换取一些吃的东西。在这段期间，他自己研究魔方阵、连环分数、超几何级数、椭圆积分及一些数论问题，他把自己得到的结果写在二本记事簿裏，生活不安定不能使到他对数学的爱好减少，一个善良的邻居老太太，看他生活困难，几次在中餐时邀他在家裏吃些东西。 根据印度的习俗，他家人在1909年为他安排了婚事，妻子是一个九岁的女孩。在1910年他是二十三岁了，有了家而且因是长子，必须帮助家一些费用，他不得不极力寻找工作，后来朋友推荐他去找印度官员拉奥。 拉奥本身是一个有钱的印度官员，也是印度数学会的创办人之一，认为拉玛奴江不适合做其他工作，很难介绍工作给柋，因此宁愿每个月给他一些钱，够他生活不必去工作，而他自己可以作研究。他很赏识拉玛奴江的数学才能。 接玛奴江只好接受这些钱，又继续他的究工作。每天傍晚时分才在马德拉斯(Madras)的海边散步和朋友聊天作为休息。有一天一个老朋友遇到他,就对他说：「人们称赞你有数学的天才！」拉玛奴江听了笑道：「天才？！请你看看我的肘吧！」他的肘的皮肤显得又黑又厚。他解释他日夜在石板上计算，用破布来擦掉石板上的字太花时间了，他每几分钟就用肘直接擦石板的字。朋友问他既然要作这麼多计算为甚麼不用纸来写。拉玛奴江说他连吃饭都成问题，那裏有钱去买大量的纸来用，原来接玛奴江觉得依靠别人生活心里是很惭愧，已经有一个月不去拿钱了。 很幸运拉玛奴江获得了奖学金，在1913年5月开始，他每个月获得七十五卢比。不久他的朋友协助他用英文写了一封信给英国剑桥大学的著名数学家哈地球(G.H.Hardy)教授，在这信裏列下了他以前研究得到的一百二十个定理和公式。 哈地教授看到他的一些结果，有些是重新发现一百年前大数学家的结果，有一些是错误，有一些是非常深入困难，经过许多波折，拉玛奴江总算来到了英国。哈地认为要教他现代数学，如果照常规从头学起，很可能会对拉玛奴江的才能有损害。而他又不能停留在对现代数学无知的状态。因此哈地用自己独特的方法帮助他学习，终於拉玛奴江掌握了较健全的现代分析理论的知识。比他教给拉玛奴江的还多。 从1914到1918年拉玛奴江和教授写了许多重要的数学论文。由於他是个虔诚的婆罗门教徒，绝对奉行素食主义，在英国生活那段时间，他自己煮自己的食物，而常常因研究而忘记吃饭，他的身体越来越衰弱，后来常感到身上有无名的疼痛。 后来才发现他患上了无法医治的肺病。在英国医院住了一个时期。哈地教授讲他在病中的一个故事： 有一天哈地乘了一辆出租汽车去看他，这车牌号码是1729。哈地对拉玛奴江讲出了这个数字，看来没有甚麼意义。可是拉玛奴江想一下马上回答：「这是最小的整数能用二种方法来表示二个整数的立方的和。」(1729=13+123=93+103) 拉玛奴江被称为数学的预言家，他死后已经有五十四年了，可是他的一些预测的结果，还是目前数学家正想法证明的。 他在1920年4月26日死於麻特拉斯，马德拉斯大学后来建立了一个高等数学研究所，就用他的名字来命名。而在1974年还准备在研究所门前为他矗立一个大理半身像。 如果他英灵有知，或许他会说：「不必替我立像，应该求求那些正在饿死的小孩，他们有许多会是未来的拉玛奴江！」Top高斯 高斯－被誉为「数学王子」的德国大数学家，物理学家和天文 学家。 德国大数学家高斯 ( Carl Friedrich Gauss 1777-1855 ) 是德国最伟大，最杰出的科学家，如果单纯以他的数学成就来说，很少在一门数学的分支里没有用到他的一些研究成果。贫寒家庭出身 高斯的祖父是农民，父亲除了从事园艺的工作外，也当过各色各样的杂工，如护堤员、建筑工等等。父亲由於贫穷，本身没有受过什麼教育。 母亲在三十四岁时才结婚，三十五岁生下了高斯。她是一名石匠的女儿，有一个很聪明的弟弟，他手巧心灵是当地出名的织绸能手，高斯的这位舅舅，对小高斯很照顾，有机会就教育他，把他所知道的一些知识传授给他。而父亲可以说是一名”大老粗”，认为只有力气能挣钱，学问对穷人是没有用的。 高斯在晚年喜欢对自己的小孙儿讲述自己小时候的故事，他说他在还不会讲话的时候，就已经学会计算了。 他还不到三岁的时候，有一天他观看父亲在计算受他管辖的工人们的周薪。父亲在喃喃的计数，最后长叹的一声表示总算把钱算出来。 父亲念出钱数，准备写下时，身边传来微小的声音：「爸爸！算错了，钱应该是这样.....。」 父亲惊异地再算一次，果然小高斯讲的数是正确的，奇特的地方是没有人教过高斯怎麼样计算，而小高斯平日靠观察，在大人不知不觉时，他自己学会了计算。 另外一个著名的故事亦可以说明高斯很小时就有很快的计算能力。当他还在小学读书时，有一天，算术老师要求全班同学算出以下的算式： 1 + 2 + 3 + 4 + ....+ 98 + 99 + 100 = ?在老师把问题讲完不久，高斯就在他的小石板上端端正正地写下答案5050，而其他孩子算到头昏脑胀，还是算不出来。最后只有高斯的答案是正确无误。 原来 1 +100= 101 2 + 99 = 101 3 + 98 = 101 . . . 50 + 51 = 101 前后两项两两相加，就成了50对和都是 101的配对了即 101 × 50 = 5050。 按：今用公式 表示 1 + 2 + ... + n 高斯的家里很穷，在冬天晚上吃完饭后，父亲就要高斯上床睡觉，这样可以节省燃料和灯油。高斯很喜欢读书，他往往带了一捆芜菁上他的顶楼去，他把芜菁当中挖空，塞进用粗棉卷成的灯芯，用一些油脂当烛油，於是就在这发出微弱光亮的灯下，专心地看书。等到疲劳和寒冷压倒他时，他才钻进被窝睡觉。 高斯的算术老师本来是对学生态度不好，他常认为自己在穷乡僻壤教书是怀才不遇，现在发现了「神童」，他是很高兴。但是很快他就感到惭愧，觉得自己懂的数学不多，不能对高斯有什麼帮助。 他去城里自掏腰包买了一本数学书送给高斯，高斯很高兴和比他大差不多十岁的老师的助手一起学习这本书。这个小孩和那个少年建立起深厚的感情，他们花许多时间讨论这里面的东西。 高斯在十一岁的时候就发现了二项式定理 ( x + y )n的一般情形,这里 n可以是正负整数或正负分数。当他还是一个小学生时就对无穷的问题注意了。 有一天高斯在走回家时，一面走一面全神贯注地看书，不知不觉走进了布伦斯维克 ( Braunschweig ) 宫的庭园，这时布伦斯维克公爵夫人看到这个小孩那麼喜欢读书，於是就和他交谈，她发现他完全明白所读的书的深奥内容。 公爵夫人回去报告给公爵知道，公爵也听说过在他所管辖的领地有一个聪明小孩的故事，於是就派人把高斯叫去宫殿。 费迪南公爵 ( Duke Ferdinand ) 很喜欢这个害羞的孩子，也赏识他的才能，於是决定给他经济援助，让他有机会受高深教育，费迪南公爵对高斯的照顾是有利的，不然高斯的父亲是反对孩子读太多书，他总认为工作赚钱比去做什麼数学研究是更有用些，那高斯又怎麼会成材呢？高斯的学校生涯 在费迪南公爵的善意帮助下，十五岁的高斯进入一间著名的学院（程度相当於高中和大学之间）。在那里他学习了古代和现代语言，同时也开始对高等数学作研究。 他专心阅读牛顿、欧拉、拉格朗日这些欧洲著名数学家的作品。他对牛顿的工作特别钦佩，并很快地掌握了牛顿的微积分理论。 1795年10月他离开家乡的学院到哥庭根 ( Gottingen )去念大学。哥庭根大学在德国很有名，它的丰富数学藏书吸引了高斯。许多外国学生也到那里学习语言、神学、法律或医学。这是一个学术风气很浓厚的城市。 高斯这时候不知道要读什麼系，语言系呢还是数学系？如果以实用观点来看，学数学以后找生活是不大容易的。 可是在他十八岁的前夕，现在数学上的一个新发现使他决定终生研究数学。这发现在数学史上是很重要的。 我们知道当 n ≥ 3 时，正 n 边形是指那些每一边都相等，内角也一样的 n 边多边形。 希腊的数学家早知道用圆规和没有刻度的直尺画出正三、四、五、十五边形。但是在这之后的二千多年以来没有人知道怎麼用直尺和圆规构造正十一边、十三边、十四边、十七边多边形。 还不到十八岁的高斯发现了：一个正 n 边形可以用直尺和圆规画出当且仅当 n 是底下两种形式之一： k= 0,1,2, ... 十七世纪时法国数学家费马 ( Fermat ) 以为公式在 k = 0, 1, 2, 3, ....给出素数。（事实上，目前只确定 F0,F1,F2,F4是质数，F5不是）。 高斯用代数方法解决了二千多年来的几何难题，而且找到正十七边形的直尺与圆规的作法。他是那麼的兴奋，因此决定一生研究数学。据说，他还表示希望死后在他的墓碑上能刻上一个正十七边形，以纪念他少年时最重要的数学发现。 1799年高斯呈上他的博士论文，这论文证明了代数一个重要的定理：任何一元代数方程都有根。这结果数学上称为”代数基本定理”。 事实上在高斯之间有许多数学家认为已给出了这个结果的证明，可是没有一个证是严密的，高斯是第一个数学家给出严密无误的证明，高斯认为这个定理是很重要的，在他一生中给了一共四个不同的证明。高斯没有钱印刷他的学位论文，还好费迪南公爵给他钱印刷。 二十岁时高斯在他的日记上写，他有许多数学想法出现在脑海中，由於时间不定，因此只能记录一小部份。幸亏他把研究的成果写成一本叫＜算学研究＞，并且在二十四岁时出版，这书是用拉丁文写，原来有八章，由於钱不够，只好印七章，这书可以说是数论第一本有系统的著作，高斯第一次介绍”同余”这个概念。Top巴比仑 灿烂的古巴比仑文化 发源於现在土耳其境内的底格里斯河（Tigris）和幼发拉底河 （Euphrates） ，向东南方流入波斯湾。河流经过现在的叙利亚和伊拉克。 现在我们生活的「星期制度」是源於古代巴比仑。巴比仑人把一年分为十二个月，七天组成一个星期，一个星期的最后一天减少工作，用来举行宗教礼拜，称为安息日－这就是我们现在的礼拜日。 我们现在一天二十四小时，一小时有六十分，一分有六十秒这种时间分法就是巴比仑人创立的。在数学上把圆分三百六十度，一度有六十分这类六十进位制的角度衡量也是巴比仑人的贡献。 古代巴比仑人的书写工具是很奇特的，他们利用到处可见的粘泥，制成一块块长方薄饼，这就是他们的纸。然后用一端磨尖的金属棒当笔写成了「楔形文字」 （cuneiform） ，形成泥板书。 希腊的旅行家曾记载巴比仑人为农业的需要而兴建的运河，工程的宏大令人惊叹。而城市建筑的豪美，商业贸易的频繁，有许多人从事法律、宗教、科学、艺术、建筑、教育及机械工程的研究，这是当时其他国家少有的。 可是巴比仑盛极一时，以后就衰亡了，许多城市埋葬在黄土沙里，巴比仑成为传说神话般的国土，人们在地面上找不到这国家的痕迹，曾是闻名各地的「空中花园」埋在几十米的黄土下，上面只有野羊奔跑的荒原。 到了十九世纪四十年代，法国和英国考古学家发掘了古城及获得很多文物，世人才能重新目睹这个地面上失踪的古国，了解其文化兴盛的情况。特别是英国人拉雅（ Loyard）在尼尼微（Nineveh）挖掘到皇家图书馆，两间房藏有二万六千多件泥板书，包含历史、文学、外交、商业、科学、医药的记录。巴比仑人知道五百种药，懂得医治像耳痛及眼炎，而生物学家记载几百种植物的名字及其性质。化学家懂得一些矿物的性质，除了药用外，而且还利用提炼金属，制陶器及制玻璃的水平很高。 有这样高文化水平的民族，他们的数学也该是不错吧？这里就谈谈他们这方面的贡献。巴比仑人的记数法 巴比仑人用两种进位法：一种是十进位，另外一种是六十进位。 十进位是我们现在普通日常生活中所用的方法，打算盘的「逢十进一」就是基於这种原理。 巴比仑人没有算盘，但他们发明了这样的「计算工具」协助计算（图一）。在地上挖三个长条小槽，或者特制有三个小糟的泥块，用一些金属小球代表数字。比方说：巴比仑城南的农民交来了 429 袋的麦作为国王的税金，而城东的农民交来了 253 袋的麦。因此国王的仓库增加了 429 + 253 = 682 袋粮食。我们用笔算一下子就得到答案，可是巴比仑人却是先在泥板上的小槽上分别放上：4 个， 2 个，9 个的金属球，这代表了 429。然后在置放 4 个金属球的小槽上添加 2 个小球，中间槽上添加 5 个小球，最后的小槽上添加3 个小球。 现在最后一列的小槽上有 12 个小球，巴比仑人就取掉十个，在中间那个槽里添上 1 个小球－这也就是「逢十进一」。 最后泥板上的数字 682 就是加的结果。这不是很好玩吗？（图二）我们可以利用这方法以实物教儿童认识一些大数的加法。六十进位制目前是较少用到，除了在时间上我们说：一小时 = 60 分，1 分 = 60 秒外，在其他场合我们都是用十进位制。 可是你知道吗？就是古代的巴比仑人定下一年有三百六十五天， 十二个月，一个月有二十九天或三十天，每七天为一个星期，一个圆有三百六十度，一小时有六十分，一分有六十秒等等，我们现代还是继续采用。 考古学家在一块长三又八分之一吋，宽二吋，厚四分之三吋的泥板书上发现了巴比仑人的记数法。这泥板的中间从上到下有像（图四）的符号：读者可以看出这是代表：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13。这泥板书受到盐和灰尘的侵蚀，但可以看到泥板书的右边前五行是形如：很明显的这应该代表 10,20,30,40,50。 可是接下来的却是这样的符号：如果我们前面知道的符号是写成： 1 1,10 1,20 (缺三个) 2 2,10 这是什麼意思呢？考古学家猜测那几个符号照上面10,20,30, 40,50的次序应该是代表60,70,80,(缺掉的90,100,110),120,130。 是否那个 1 的符号也可以代表 60 呢？如果是的话那麼 1,10 就是代表 60 + 10 = 70。而 1,20 是代表 60 + 20 = 80。而那个将代表 2 × 60 = 120了。很明显 2,10是代表 120 + 10 = 130。 这样的猜测是合理的，由於巴比仑人没有符号表示零，而他们采用的是 60 进位制，因此同样一个符号可以代表 1 或 60。 没有零符号在记数上是很容易产生误会，比方说：可以看成 1,20 = 1 × 60 + 20 = 80 或 1,0,20 = 1 × 602 + 0 × 60 + 20 = 3620。 到了两千年前巴比仑人才采用表示零。 因此像代表 2,3,0,41 即 2 × 603 + 3 × 602 + 41 = 442841 从此巴比仑人小於 60 的数字的记数可以看出他们懂得「位值原理」。巴比仑人怎样进行除法运算？ 从一些泥板书里可以看出底下的对应。2 30 16 3,45 45 1 ,20 3 20 18 3,20 48 1 ,15 4 15 20 3 50 1 ,12 5 12 24 2,30 54 1 , 6 ,40 6 10 25 2,24 8 7,30 27 2,13,20 9 6,40 30 2 10 6 32 1,52,30 12 5 36 1,40 15 4 40 1,30 如果你在现在的伊拉克的土地上发掘这样的泥板书，你能了解这是什麼意思吗？四十多年前考古学家发现这事实上就是巴比仑人的「倒数表」。我现在把以上的表改写：你可以看出这就是把整数 n 的倒数1／n用六十进的分数来表示。比方说 27对应 2,13,20意思就是：你会注意到以上的表缺少了：7,11,13,14,17,19,21,23,26,28,31,33,34,35等等，这是什麼原因呢？ 原来是这样：巴比仑人只列下以六十进位制的分数表示式是有限长的那些整数，而这些整数只能是 2a3b5c（这里a,b,c是大於或等於零的整数）的样子。 对於 7 来说，它的倒数如果是以六十进位数表示将得到循环分数，即 8,34,17,8,34,17,....直到无穷。对於 11 也是如此，我们得到 5,27,16,21,49 然后重覆以上的样式以至无穷。 为什麼要构造这样的「倒数表」呢？ 我们在小学学计算：先学加，然后学减。先学乘，然后学除。如果现在要算a ÷ b ，我们可以把这问题转化成为 a × ()，这样只要知道 b 的倒数，我们就「化除为乘」，计算有时是会快捷一些。 古代的巴比仑人也懂得这个道理，因此在实际生活上，如在灌溉、计算工资、利息、税项、天文等问题上遇到除的问题，就尽可能将它转变为乘的问题来解决，这时候「倒数表」就很有用了。Top祖冲之 法国巴黎的「发现宫」科学博物馆中友祖冲之的大名与他所发现的圆周率值并列。他曾经算出月球绕地球一周为时27.21223日，与现代公认的27.21222日，在那个时代能有那麼伟大的成就，实在让人佩服，难怪西方科学家把月球上许多「火山口」中的一个命名为「祖冲之」。而即使在社会主义共产国家「老大哥」苏俄，在莫斯科国立大学礼堂廊壁上，用彩色大理石镶嵌的世界各国著名的科学家肖像中，也有中国的祖冲之和李时珍，祖氏有那麼杰出的表现，我们不能不对他稍有认识。Top阿基米德 阿基米德最有名的名言，就是：「给我一个立足点，我就可以移动地球。」他一生专心研究科学上的体积和浮力问题，有一个有趣的故事，就是当时候国王叫金匠打造一顶纯金的皇冠，国王因为怀疑金匠加了杂物，就请阿基米德鉴定，阿基米德一直在想鉴定的方法，就在他走进浴缸里洗澡的时候，看见满出去的水时，悟出体积的原理，他高兴的跑出浴室，大叫：「我找到了！」一时忘了自己是光著身体呢！另外，阿基米德还有几何方面的数学成就哩！ 阿基米得是第一位讲科学的工程师，在他的研究中，使用欧几理得的方法，先假设，再以严谨的逻辑推论得到结果，他不断地寻求一般性的原则而用於特殊的工程上。他的作品始终融合数学和物理，因此阿基米得成为物理学之父。 他应用杠杆原理於战争，保卫西拉斯鸠的事迹是家喻户晓的。而他也以同一原理导出部分球体的体积、回转体的体积（椭球、回转抛物面、回转双曲面），此外，他也讨论阿基米得螺线（例如：苍蝇由等速旋转的唱盘中心向外走去所留下的轨迹），圆，球体、圆柱的相关原理，其成就，在古时无人能望其项背。 阿基米得将欧几理得提出的趋近观念作了有效的运用，他提出圆内接多边形和相似圆外切多边形，当边数足够大时，两多边形的周长便一个由上，一个由下的趋近於圆周长。他先用六边形，以后逐次加倍边数，到了九十六边形，求π的估计值介於3.14163和3.14286之间。另外他算出球的表面积是其内接最大圆面积的四倍。而他最得意的杰作是导出圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二倍。这定理就刻在他的墓碑上，也成为他名垂千古的一大注记。Top毕达哥拉斯 毕达哥拉斯(Pythagoras)是希腊的哲学家和数学家。出生在希腊撒摩亚(Samoa)地方的贵族家庭，年青时曾到过埃及和巴比仑那里学习数学，游历了当时世界上二个文化水准极高的文明古国。毕达哥拉斯后来就到意大利的南部传授数学及宣传他的哲学思想，后来和他的信徒们组成了一个所谓「毕达哥拉斯学派」的政治和宗教团体。 毕达哥拉斯是比同时代中一些开坛授课的学者进步一点；因为他容许妇女（当然是贵放妇女而不是奴隶女婢）来听课。他认为妇女也是和男人一样在求知的权利上平等，因此他的学派中就有十多名女学者。这是其他学派所无的现象。 传说他是一个非常优秀的教师，他认为每一个都该懂些几何。有一次他看到一个勤勉的穷人，他想教他学习几何，因此对此人建议：如果这人能学懂一个定理，那麼他就给他一块钱币。这个人看在钱份上就和他学几何了，可是过了一个时期，这学生对几何却产生了非常大的兴趣，反而要求毕达哥拉斯教快一些，并且建议：如果老师多教一个定理，他就给一个钱币。不需要多少时间，毕达哥拉斯把他以前给那学生的钱全部收回了。 毕达哥拉斯是死在意大利科多拿城里，在一场城市暴动中，他被人暗杀掉。他的坟墓现仍在意大利的这个古山城中，这坟墓就像中国的馒头式坟。二千多年过去了，这坟还保留下来，可见人们对这学者的重视。 毕氏建立毕达歌拉斯兄弟会，崇拜整数、分数为偶像，他们认为透过对数的了解，可以揭示宇宙神秘，使他们更接近神，事实是一个宗教性社团组织。入会时需宣誓不得将数学发现公诸於世，甚至在毕氏死后，有成员因公开正12面体可由12个正五边形构成的发现而被迫浸水致死。他们集中注意於研究自然数和有理数，特别是完美数，它是本身正因数（除了本身之外）之和，例如：6=1+2+3、28=1+2+4+7+14。他们认为上帝因为6是完美的，因此选择以6天创造万物，且月亮绕行地球一周约28天。

数学家高斯的故事