楼上几个同学都在说芝诺悖论，和各种芝诺悖论的变种。“飞矢不动”，带来了第二次数学危机，使人们展开了对“无穷小”这一概念的讨论。芝诺悖论这一个系统，归根结底，是来源于上古时期人类对“极限”，“无穷”这两个概念的认识不到位。在牛顿-莱布尼茨发明微积分工具，以及在此之后，数学分析的发展带来的对极限的公理化，集合论的发展带来的对无穷的更好描述，都使得芝诺悖论的解变得更为清晰明了。

有人会讲，芝诺悖论和量子力学的关系啊，芝诺悖论和时空是否可以无限细分的关系啊。简单地反驳，如果追不上乌龟的大兄弟和飞不动的箭都存在于一个空间可以无限细分的理想空间里呢？

可以说，芝诺悖论曾经引起了很多的讨论，极大地推动了人们对无穷大，无穷小的认识，有其历史意义。但是现在来看，已经不算一个很重要的问题。而接下来要说的另一套悖论，则直接带来了第三次数学危机：说谎者悖论。

“我正在说的这句话是谎话”

那么上面这句话是真话还是谎话？如果是真话，那么它应该是谎话；如果是谎话，那么它应该是真话！如论我们如何进行判断，最终终会终于谬误。

这个悖论被抽象出来，就是集合论中的“自指悖论”。R是所有不包含自身的集合的集合，那么R是否包含R呢？如果包含，则应该不包含；如果不包含，则应该包含。那么到底哪里出了问题呢？是我们的逻辑学？还是集合论本身？

历史上，数学家解决这个问题的方案是 公理化。在康拓的朴素集合论的基础上，策梅洛和弗兰克尔提出了更为完整而完备的集合论公里系统，明确的限定了合法的集合操作。这一体系被称为ZF公理系统。