柏拉图出身雅典贵族，早年师从哲学家苏格拉底。苏格拉底被雅典民主政权以破坏宗教和毒害青年的罪状处死后，柏拉图曾游历埃及等地。回雅典后，他创办学园，授徒讲学，并撰写哲学对话录，直到死时为止。柏拉图的对话录总共有四十多篇，内容涉及政治、伦理、文艺、教育以及当时争辩激烈的一些哲学问题。最著名的有体现他的政治纲领的《理想国》，讨论修辞学和辩证法的《斐德若》，讨论审美教育的《会饮》，和谈到理想国的社会组织的《法律》等篇。这些对话中主要发言人都是苏格拉底，论敌则大半是诡辩派哲学家。柏拉图自己在对话中始终没有出场，苏格拉底可能就是他的代言人。

柏拉图生活在雅典贵族失势、民主派当权的时代，他提倡贵族政治，反对民主制度。在哲学上，他继承了苏格拉底的唯心主义，成为西方客观唯心主义哲学的始祖。他把“理式”或宇宙间的原则和道理看作是第一性的、永恒普遍的，至于感官接触的世界则是“理式”世界的摹本或幻影，无永恒性和普遍性，所以不仅是第二性的，而且是不真实的。柏拉图的哲学体系中还谈到关于爱情的理论。他反对把爱情当成利害关系和情欲的满足，认为爱情是从人世间美的形体窥见美的本体以后所引起的爱慕，人经过这种爱情而达到永恒的美(理式)。这种思想虽然具有反对庸俗爱情的意义，但本质上是精神贵族的观点，是他唯心主义体系的一部分。后世的“柏拉图式的精神恋爱”，就是导源于他的爱情学说。

一、“理念论”与数学的抽象性

柏拉图哲学思想的核心是“理念论”，他认为存在着一个由形式和观念组成的客观而普遍可靠的实在世界，即所谓“理念世界”。理念世界是独立于个别事物和人类意识之外的实体，永恒不变的理念是个别事物的“范型”，个别事物是完善的理念的不完善的“影子”或“摹本”。在《国家篇》中柏拉图讲到一个寓言：一个犯人被锁在洞中，在洞口上面有类似木偶戏的表演，借洞口火光，其阴影投到洞壁上，这个犯人看到的只是这些阴影，等到犯人被释放，他才看到木偶，看到火光，才明白以前看到的只不过是这些东西的阴影，等爬出洞来，看到真正的事物，看到太阳，才知道以前所看到的木偶火光之类，只不过是对真正事物和太阳的摹仿。柏拉图在寓言中所说的真实事物和太阳，是对他的理念世界的比喻，木偶火光之类，是对现实世界的比喻，他认为理念世界比现实世界更真实更完美。

柏拉图的“理念论”是一种唯心主义哲学观，是应该予以否定的，但是柏拉图的这种哲学观点反映到数学上，却起到了促使数学向抽象化方向发展的客观作用。柏拉图把数学概念看作抽象物，认为数学概念不含物质性，因而和具体事物不相同；数学概念不依赖于经验，自有其实在性，他们只能为人们所发现，不能为人们所发明或塑造。柏拉图在《国家篇》中说：“显然，他们利用各种可见的图形，谈到这些图形，但是他们所思考的实际上并不是这些图形而是这些图形所摹仿的那些东西，他们所研究的并不是他们所画的这个特殊正方形和这个特殊的对角线等等，而是正方形本身，对角线本身等等，他们所作的图形乃是实际的东西，乃其水中的影子或影象，但是他们现在又把这些东西作为影象，而他们实际要求看到的则是只有用思想才能认识到的那些理念”。柏拉图所谈的不是特殊的正方形、对角线，而是正方形、对角线本身，就是说不是具体的个别的正方形、对角线，而是抽象化了的正方形和对角线。这种抽象化观点，这种借助形象的东西达到抽象思维的思想方法是应该受到肯定的。我们知道，数学的显著特点，第一个便是高度的抽象性。数学抽象，就是利用抽象的分析方法，把大量生动的关于现实世界空间形式和数量关系的直观背景材料，进行去粗取精，去伪存真，由此及彼，由表及里的加工和制作，提炼数学概念，构造数学模型，建立数学理论。柏拉图，柏拉图学派乃至古希腊前后一千多年时间里，在数学领域取得如此辉煌的成就，如果没有数学抽象的思维方法那是很难想象的。提倡并强调数学概念的抽象化，使得数学逐步向抽象化方向发展，起作用最大的，无疑应首推柏拉图。

二、柏拉图的认识论与数学公理化

在认识论上，柏拉图认为感觉是以个别事物为其对象，因而不可能是真实知识的源泉，一切真实的知识，只是不朽的灵魂对理念的回忆，辩证法的一个意义就是人们回忆理念的过程。辩证法“从理念出发，通过理念，达到理念”，逐步上升到最高理念，即善的理念，这就是宇宙最高的和最终的目的。善的理念是一切知识和真理，以至一切存在之所本。柏拉图的这种观点无疑是十分荒唐的，是与唯物主义哲学相对立的，但是他对感觉的否定，认为感性知识不可靠，唯有理念才是真实可靠的，这种观点却促进和推动了数学公理化方法的产生和发展。在《国家篇》中，柏拉图在讲到认识问题时，谈了如下一段话：“你知道研究几何学、数学以及这一类学问的人在开始的时间要假定偶数和奇数，各种图形，三种角以及其它类似的东西，把这些东西看成已知的，看成绝对的假设，不觉得需要为他们自己或别人来对这些东西加以说明，而是把这些东西当作自明的，他们就从这些假设出发，通过一系列的逻辑推论而最后达到他们所要求的结论”，还说：“人的理性决不引用任何感性事物，而只引用理念，从一个理念到另一个理念，并且归结到理念。”从柏拉图的这些说法，我们知道，在那个时代就已使数学公理化方法有一个开端，而柏拉图本人无疑是支持、赞成和强调这种做法的。

三、柏拉图的哲学观对数学发展的束缚作用

柏拉图出身于贵族奴隶主家庭，其哲学思想是为他所在的阶级服务的。为此他编造了神创世界的学说，认为神将理念加之于原始的混沌或物质而构成有序的宇宙。他把人分为统治者、武士和生产者三个阶级，作为统治阶级，理所当然地应该对农业、手工业、机械行业、商业等等不屑一顾。他甚至主张自由民经商要受到惩罚。这种政治观决定了柏拉图的哲学观，而哲学观又进而影响到数学思想。前面我们谈到，柏拉图的哲学思想客观上对数学的某些方面如抽象化、公理化等起到了促进作用，但，同样是由于这种哲学思想，又对数学的另外一些方面起到了束缚作用。

柏拉图哲学思想的核心是理念论，即理念世界是第一性的，实物世界是第二性的，从生的。正确的认识不是来源于实践而是来源于人的不灭的灵魂对理念世界的回忆，正确的认识不是用于指导人类改造客观世界，而是从理念到理念，最后上升到最高的理念。在这种哲学观点的影响之下，柏拉图把数学看作辩证法的前奏曲，把训练心灵从而认识理念世界看作数学的唯一目的。他认为只要对物质世界作些洞察，从中抽出基本真理，然后就可以单凭理性继续对物质世界进行研究，再不需要任何实践。他反对逻辑推理以外的任何数学方法，诸如观察、实验、归纳、类比等等，一提到实际事物实际应用柏拉图就一律予以反对。Plutarch 在他所写的 Marcellus 传记里说到： Eudoxus 和 Arohytas 用机械工具来巧妙地说明几何题，并从实验来以此证实那些用图形和言语证起来过于复杂的结论，使人看了一目了然便能信服。例如，给定两线求其两个比例中线的问题是许多作图题里常要碰到的，这两位数学家在解决这问题时都借助于仪器，使其适用于他们所需要的某些曲线和线段，但由于柏拉图对此表示愤慨，并对此大加谴责，说它只不过是搞坏和消灭了几何学的一个优点，使其如此可耻地不顾纯理智的抽象对象，而回复到感性，并求助（这种帮助非得卑躬屈膝丧尽尊严才能获得）于物质，就产生了这样的情况，使机械学（力学）和数学分了家。

希腊在一千多年时间里，几何学发展成为一门系统的严密的科学，代数学却还停留在直观、经验阶段，几乎没什么发展。希腊数学的狭隘、局限和发展不平衡，究其原因，不能不说这与柏拉图的指导思想——研究数学的全部目的在于训练心灵从而认识理念世界密切相关。

数学本身的发展表明，任何一个有意义的数学体系都不是完全脱离客观世界的产物，它们或是直接或是间接地来源于物质世界，是从人们的感性经验中提炼和概括出来的。人类社会实践是数学发展的源泉，也是推动数学发展的根本动力。著名法国数学家傅立叶（Fourier 1768-1830）说：对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。20世纪伟大的数学家冯·诺依曼认为，当一门数学学科远离它的经验本源继续发展的时候，它就会受到危险的困扰，它变得越来越纯粹地美学化，越来越纯粹地“为艺术而艺术”，……每当到了这种地步时，在我看来，唯一的药方就是为重获青春而返本求源，重新注入多少来自经验的思想。

柏拉图反对理论联系实际，堵塞了数学理论的源泉，扼杀了数学的发展动力，在一开始就种下了死亡的种子，这个教训是应该世代记取的