1.向量的知识点

一、向量知识点归纳 1.与向量概念有关的问题 ⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“ > ”错了，而| |>| |才有意义. ⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量. ⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件. ⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（ ），其中 、满足 =1（可用（cos ,sin ）(0≤ ≤2π)表示）.特别： 表示与 同向的单位向量。

例如：向量 所在直线过 的内心（是 的角平分线所在直线）；例1、O是平面上一个定点，A、B、C不共线，P满足 则点P的轨迹一定通过三角形的内心。 （变式）已知非零向量AB→与AC→满足（AB→|AB→| +AC→|AC→| ）。

2.向量有什么重要的知识点啊

1、向量的加法：

AB+BC=AC

设a=(x,y) b=(x',y')

则a+b=(x+x',y+y')

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

向量加法的性质：

交换律：

a+b=b+a

结合律：

(a+b)+c=a+(b+c)

a+0=0+a=a

2、向量的减法

AB-AC=CB

a-b=(x-x',y-y')

若a//b

则a=eb

则xy`-x`y=0·

若a垂直b

则a·b=0

则xx`+yy`=0

3、向量的乘法

设a=(x,y) b=(x',y')

用坐标计算向量的内积：a·b（点积）=x·x'+y·y'

a·b=|a|·|b|*cosθ

a·b=b·a

(a+b)·c=a·c+b·c

a·a=|a|的平方

向量的夹角记为<a,b>；∈[0，π]

Ax+By+C=0的方向向量a=(-B,A)

(a·b)·c≠a·（b·c）

a·b=a·c不可推出b=c

设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使向量P1P=λ向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)

x=(x1+λx2)/(1+λ)

则有

y=(y1+λy2)/(1+λ)

我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

4、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣*∣a∣，当λ>0时，与a同方向；当λ实数λ叫做向量a的系数，乘数向量的几何意义时把向量a沿着的方向或反方向放大或缩小。

3.向量的知识点都有些忘了,所以希望能详细一点,谢谢

向量OP=入OA+OB得向量OP=(-4入+12,-3入-5)。

因为向量OA,OP的夹角与向量OP,OB的夹角相等，

所以有公式cosQ=(OA*OP)/（丨OA丨*丨OP丨）=（OB*OP）/（丨OB丨*丨OP丨）。

(OA*OP)/（丨OA丨*丨OP丨）=【（-入4+12）*(-4)+（-入3-5）*(-3)】/【根号（4平方+3平方）乘以 根号（（-4入+12）平方+（-3入-5）平方）】=（25入-33）/5乘以根号（25入平方+169-66入）。…………①

( OB*OP)/（丨OB丨*丨OP丨）=【12（-入4+12）-5(-5-入3)】/【根号（12平方+5平方）乘以 根号（（-4入+12）平方+（-3入-5）平方）】。…………②

因为①=②，得入=-2.6

4.【急求向量重要知识点】

1、向量的加法：AB+BC=AC 设a=(x,y) b=(x',y') 则a+b=(x+x',y+y') 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.向量加法的性质：交换律：a+b=b+a 结合律：（a+b）+c=a+(b+c) a+0=0+a=a 2、向量的减法 AB-AC=CB a-b=(x-x',y-y') 若a//b 则a=eb 则xy`-x`y=0· 若a垂直b 则a·b=0 则xx`+yy`=0 3、向量的乘法 设a=(x,y) b=(x',y') 用坐标计算向量的内积：a·b（点积）=x·x'+y·y' a·b=|a|·|b|*cosθ a·b=b·a (a+b)·c=a·c+b·c a·a=|a|的平方 向量的夹角记为∈[0，π] Ax+By+C=0的方向向量a=(-B,A) (a·b)·c≠a·（b·c） a·b=a·c不可推出b=c 设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点.则存在一个实数 λ，使向量P1P=λ向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y) x=(x1+λx2)/(1+λ) 则有 y=(y1+λy2)/(1+λ) 我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣*∣a∣，当λ>0时，与a同方向；当λ。

5.向量知识点有什么,亲们

有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作 或AB；向量的模：有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|；零向量：长度等于0的向量叫做零向量，记作 或0。

（注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的，书写时要在实数“0”上加箭头，以免混淆）；相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量；平行向量（共线向量）：两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，零向量与任意向量平行，即0//a；单位向量：模等于1个单位长度的向量叫做单位向量，通常用e表示，平行于坐标轴的单位向量习惯上分别用i、j表示。相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-（-a）=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

[1]3表示方法编辑 几何表示 具有方向的线段叫做有向线段，我们以A为起点、B为终点的有向线段记作 ，则向量可以相应地记作 。但是，区别于有向线段，在一般的数学研究中，向量是可以平移的。

[2] 坐标表示 在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得：向量的坐标表示 a=xi+yj，我们把（x,y）叫做向量a的（直角）坐标，记作：a=(x,y)。

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。

根据定义，任取平面上两点A(x1,y1),B(x2,y2)，则向量AB=(x2-x1,y2-y1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。[2] 书写方法 印刷体：只用小写字母表示时，采用加粗黑体；用首尾点大写字母表示时，需要在字母上加箭头，如 ；手写体：均需在字母上加箭头表示，如 、。

4运算性质编辑 向量同数量一样，也可以进行运算。向量可以参与多种运算过程，包括线性运算（加法、减法和数乘）、数量积、向量积与混合积等。

下面介绍运算性质时，将统一作如下规定：任取平面上两点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)。加法 向量加法的三角形法则 已知向量AB、BC，再作向量AC，则向量AC叫做AB、BC的和，记作AB+BC，即有：AB+BC=AC。

用坐标表示时，显然有：AB+BC=(x2-x1,y2-y1)+(x3-x2,y3-y2)=(x2-x1+x3-x2,y2-y1+y3-y2)=(x3-x1,y3-y1)=AC。这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 三角形法则：AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则，简记为：首尾相连、连接首尾、指向终点。

四边形法则：已知两个从同一点A出发的两个向量AC、AB，以AC、AB为邻边作平行四边形ACDB，则以A为起点的对角线AD就是向量 向量加法的四边形法则 AC、AB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则，简记为：共起点 对角连。对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。

向量的加法满足所有的加法运算定律，如：交换律、结合律。（本段文字资料整理自[2]，图片为原始资料） 减法 AB-AC=CB，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则，简记为：共起点、连终点、方向指向被减向量。

-（-a）=a;a+(-a)=(-a)+a=0;a-b=a+(-b)。[2] 数乘 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa。

当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，当λ<0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa=0。用坐标表示的情况下有：λAB=λ（x2-x1,y2-y1）=（λx2-λx1，λy2-λy1） 设λ、μ是实数，那么满足如下运算性质：（λμ）a= λ（μa）（λ + μ）a= λa+ μa λ（a±b） = λa± λb（-λ）a=-（λa） = λ（-a） |λa|=|λ||a|[2] 数量积 已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b的数量积或内积，记作a·b。

零向量与任意向量的数量积为0。数量积a·b的几何意义是：a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2 数量积具有以下性质：a·a=|a|2≥0 a·b=b·a k(a·b)=(ka)b=a(kb) a·（b+c）=a·b+a·c a·b=0<=>a⊥b a=kb<=>a//b e1·e2=|e1||e2|cosθ[2] 向量积 向量a与向量b的夹角：已知两个非零向量，过O点做向量OA=a，向量OB=b，向量积示意图 则∠AOB=θ 叫做向量a与b的夹角，记作。

已知两个非零向量a、b，那么a*b叫做a与b的向量积或外积。向量积几何意义是以a和b为边的平行四边形面积，即S=|a*b|。

若a、b不共线，a*b是一个向量，其模是|a*b|=|a||b|sin,a*b的方向为垂直于a和b，且a、b和a*b按次序构成右手系。若a、b共线，则a*b=0。

若a=(x1,y1,0),b=(x2,y2,0)，则有：向量积具有如下性质：a*a=0 a‖b<=>a*b=0 a*b=-b*a（λa）*b=λ（a*b）=a*（λb）(a+b)*c=a*c+b*c[3] 混合积 给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a*b，再和向量c作数量积（a*b）·c，所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作（a,b,c）或（abc），即（abc）=(a,b,c)=(a*b)·c 混合积具有下列性质：三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负。

6.如何学好向量部分知识

向量并不难，

1.重点掌握它是既有大小，又有方向的量。可用坐标表示。

2.知识点：

1.向量（x,y）的模=√（x^2+y^2）;

2.两个向量和的坐标等于对应坐标的和；

3.两个向量差的坐标等于对应坐标的差；

4.数与向量的积的坐标等于数与各坐标的乘积；

5.两个向量平行的充要条件是其坐标成比例；

6.两个向量的数量积是个数量，等于两个向量模的积再乘以其夹角的余弦，也等于对应坐标之积之和。

7.两个向量的数量积是个向量，模等于两个向量模的积再乘以其夹角的正弦，方向与两向量都垂直，且成右手系。也可以由：单位向量、两向量坐标所组成的3阶行列式表示。

8.两向量垂直的充要条件是其数量积为0;

9.两向量平行的充要条件是其向量积为0向量。

3.用向量解决线线、线面、面面关系。

7.【求一下平面向量知识点,】

平面向量知识点汇总基本知识回顾：1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量，有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示-----（几何表示法）；②用字母、等表示（字母表示法）；③平面向量的坐标表示（坐标表示法）：分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得，叫做向量的（直角）坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 特别地，.；若，则，3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为； ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：就是单位向量）4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定与任一向量平行.向量、、平行，记作∥∥.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.性质：是唯一） （其中 ） 5.相等向量和垂直向量：①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.②垂直向量——两向量的夹角为性质： （其中 ）6.向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法.向量加法的三角形法则和平行四边形法则.平行四边形法则： （起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形）三角形法则 ——加法法则的推广： ……即个向量……首尾相连成一个封闭图形，则有……②向量的减法向量加上的相反向量，叫做与的差.即： -= + （-）；差向量的意义： = ， =， 则=- ③平面向量的坐标运算：若，则，.④向量加法的交换律：+=+；向量加法的结合律：（+） +=+ （+）⑤常用结论：（1）若，则D是AB的中点（2）或G是△ABC的重心，则7.向量的模：1、定义：向量的大小，记为 || 或 ||2、模的求法：若 ，则 ||若， 则 ||3、性质：（1）； （实数与向量的转化关系）（2），反之不然（3）三角不等式：（4） （当且仅当共线时取“=”）即当同向时 ，； 即当同反向时 ，（5）平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，即8.实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ（1）|λ|=|λ。

；（2）λ>0时λ与方向相同；λ0；当与异向时，λ。

8.数学向量知识点

1、向量的加法：

AB+BC=AC

设a=(x,y) b=(x',y')

则a+b=(x+x',y+y')

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

向量加法的性质：

交换律：

a+b=b+a

结合律：

(a+b)+c=a+(b+c)

a+0=0+a=a

2、向量的减法

AB-AC=CB

a-b=(x-x',y-y')

若a//b

则a=eb

则xy`-x`y=0·

若a垂直b

则a·b=0

则xx`+yy`=0

3、向量的乘法

设a=(x,y) b=(x',y')

用坐标计算向量的内积：a·b（点积）=x·x'+y·y'

a·b=|a|·|b|*cosθ

a·b=b·a

(a+b)·c=a·c+b·c

a·a=|a|的平方

向量的夹角记为<a,b>；∈[0，π]

Ax+By+C=0的方向向量a=(-B,A)

(a·b)·c≠a·（b·c）

a·b=a·c不可推出b=c

设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使向量P1P=λ向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)

x=(x1+λx2)/(1+λ)

则有

y=(y1+λy2)/(1+λ)

我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

4、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣*∣a∣，当λ>0时，与a同方向；当λ实数λ叫做向量a的系数，乘数向量的几何意义时把向量a沿着的方向或反方向放大或缩小。