文学可可以明志，可以知兴亡 以怡情，避免低级趣味 知识不一定能改变一个人的命运，但确实能改变一个人

求一篇《数学发展史》，要简短，3.4百字左右的。

一．    第一次数学危机

所谓数学危机，指的是在数学发展的某个历史阶段中，出现了一种相当激化的、涉及整个数学理论基础的矛盾。“公元前5世纪，一个希腊人，Pythagoras学派的Hippasus，发现了等腰直角三角形的直角边与斜边不可通约，从而导致了数学的第一次危机。”

事情是这样的，当时人们还刚刚处在从自然数概念脱胎而形成有理数概念的早期阶段，对于无理数概念是一无所知。因此，当时人们的普遍见解时确信一切量均可用有理数来表示，亦即是说，在任何精度的范围内的任何量，总能表示为有理数，这在当时，已成为希腊人的一种普遍信仰。这也是Pythagoras学派的信条，在Pythagoras看来，不仅深信数的和谐与数是万物之源，而且宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数比。另外，Pythagoras学派的重大贡献之一是证明了勾股弦定理，也就是直角三角形两直角边之平方和等于斜边的平方，然而Hippasus指出：取一直角边均为1的等腰直角三角形，如果其斜边为整数比，约去分子分母后的公因数后为 ,那么m与n中至少有一个是奇数，由勾股定理知有 ＋ ＝（ ） ，于是2＝ / ，所以m是偶数，那么，一方面由于m与n中必有一个为奇数而知n为奇数，另一方面，既然m为偶数，当可表为m＝2k，于是4 ＝2 ，故 ＝2 ，因而n亦为偶数，矛盾。这表明等腰直角三角形之斜边无法用整数或整数之比去表示。这就严重触犯了Pythagoras学派的信条，同时也冲击了当时希腊人的普遍见解，不能不使人们感到惊奇不安。直接动摇了这个历史的数学基础，传统观念受到了挑战。相传Hippasus因次被Pythagoras投入海中处死，因为他在宇宙间搞出了一个直接否定他们学派信条的怪物，而且他不顾学派的规定，敢于向学生披露新的数学思想。当然Hippasus的伟大发现是淹不死的，它以顽强的生命力而被广为流传，迫使人们去认识和理解“整数及整数比（有理数）不能包括一切几何量”。另一方面，这种危机局面的出现，也进一步促使人们，从依靠直观感觉与经验而转向依靠证明，推动了公理几何学与逻辑学的诞生和发展。

二．第二次数学危机

    数学史上把18世纪微机分诞生以来在数学界出现的混乱局面称为数学的第二次危机。在17世纪和18世纪，由于微积分理论的产生以及在各个领域里的广泛应用，使得微积分理论得到了飞速的发展。但在另一方面，当时的整个微积分理论却是建立在含混不清的无穷小概念上，从而没有一个牢固的基础，遭到了来自各各方面的非难和攻击。

    大主教Berkeley于1734年向数学家质疑：所谓瞬时速度是 / 在 趋向于0时的值，那么 或 是个什么东西？如果 和 是0，则 / 就是0/0，从而无意义，如果它们不是0，即使极为微小，其结果只能是近似值，决不是所求瞬时速度的精确值。总之，不论他们是0或不是0，都将导致荒谬。大主教Berkeley之所以猛烈攻击微积分，主要是因为他对当时自然科学的发展，所造成之对宗教信仰的日益增长的威胁极为恐惧。但也正由于当时的微积分理论没有一个牢固的基础，致使来自各方面的非难和攻击看上去言之有物。所以，“在整个18世纪，对于微积分和积分运算的研究具有一种特殊的痛苦，因为一方面是纯粹分析领域及其应用领域内的一个接一个光辉发现，但与这些奇妙的发现相对照的却是由其基础的含糊性所导致的矛盾愈来愈尖锐。”借以解决数学的第二次危机，这就直接导致了Cauchy时代的到来。Cauchy详细而系统地发展了极限论，为微机分理论寻找了牢固的基础，发展了 —— 方法和极限理论，避开了实体无限小和无限大概念的设想和使用，这就是今天所所的标准分析。

    三．第三次数学危机

普遍认为，由于严格的微积分理论的建立，上述数学史上的两次危机已经解决。但在事实上，建立严格的分析理论是以实数理论为基础的，而要建立严格的实数理论，又必须以集合论为基础，而古典集合论的诞生和发展，却又偏偏出现了一系列悖论，并由此而构成了更大的危机。

    悖论的出现，原来并没有真正引起数学家和逻辑学家的重视，似乎古昔相传的悖论，只是人为地制造出来的东西，并不值得介意。直到19世纪90年代，悖论在作为整个数学之理论基础的集合论中出现了，这样才开始引起数学家们的注意。

    古典集合论的创始者Cantor于1895年第一个在他自己创立的集合论中发现了悖论，但他没有公开，也不敢公开。然而矛盾是包不住的，1897年，原先由Cantor自己所发现的这个悖论还是由Burali-forti发现了，并且公诸于世，因而人们就称之为Burali-Forti悖论。在Burali-Forti悖论公布两年后，即1899年，Cantor又发现了一个矛盾，并公诸于世，人们也就称之为Cantor悖论。

    虽然在古典集合论中出现了如上述的一些悖论，但也并没有引起数学家们的不安，因为大家都认为悖论的出现，只是牵涉到集合论中一些较为专门的技术问题，只要作些技术性的修改或调整，便能解决问题。因而在这种认识之下，不仅没有为悖论的出现而感到不安，相反地，一种充满安全感的情绪笼罩着大家。正如1900在法国巴黎召开的国际数学会议上，法国大数学家Poincare宣称：数学的严格性，看来今天才可说是实现了。事实上，当时的数学家都喜气洋洋，非常乐观。因为对于非欧几何的不矛盾性，实数论的不矛盾性等等，虽然人们不能马上作出证明，但大家相信不会导致矛盾，因为现在这些理论的不矛盾性直接或间接地归约到集合论的不矛盾性，而一般认为集合世属于逻辑的。

然而，这种安全的想象未能维持多久，事隔不到两年，著名的Russell悖论被公诸于世，这可惊动了整个西方哲学界、逻辑学界和数学界。因为人们对Russell悖论稍加分析，就会看出，只要用逻辑术语来替代集合术语，Russell悖论就要直接牵涉到逻辑理论本身，从而直接冲击了数学与逻辑这两门一向被认为世最严谨的科学，这就不能不使数学家和逻辑学家去认真对待悖论问题了。

Russell悖论作为古典集合论中的一个悖论，不仅很快发现它可化归未最基本的逻辑概念的形式，而且进一步发现能用日常语言来表述它的基本原则，Russell自己就在1919年把它改为著名的“理发师悖论”。现陈述如下：

李家村上所有刮胡子的人可分为两类，一类是直接给自己刮胡子的人；另一类则是步给自己刮胡子的人。李家村上有一个有刮胡子习惯的理发师自己约定：“给且只给村子里自己步给自己刮胡子的人。”现在要问这个理发师自己是术语哪一类人？如果说他是属于自己给自己刮胡子的一类，则按他自己的约定，他不应该给自己刮胡子，因而是一个自己不给自己刮胡子的人；再设他是属于自己不给自己刮胡子的一类，则按他自己的约定，他必须给他自己刮胡子，因而他又是一个自己给自己刮胡子的人了。哪种说法都不通。

综上说述，人们恰当地把集合悖论的出现及其所引起的争论局面称之为数学的第三次危机。从一定程度上讲，数学第三次危机乃是前两次危机的发展和深化，因为集合悖论所涉及的问题更加深刻，涉及的范围更加广阔。

四．悖论的成因以及研究悖论的意义

    著名数学家Godel从方法论的角度对Russell悖论分析，发明了著名的Godel第二不完全性定理：

    如果一个含有初等算术理论的形式系统S是无矛盾的，则S的无矛盾性不能在S中得到证明。Godel第二不完全性定理具有深刻的数学和哲学意义。即数学有没有矛盾，在数学系统内部无法得到证明。因此，从认识论的角度来看产生悖论的本质原因，无非是人的认识与客观实际以及认识客观实际的方法与客观规律的矛盾。这种直接和间接的矛盾在某一点上的集中表现就是悖论。如此，由于人的认识在各个历史阶段中的局限性和相对性，在人类认识的各个历史阶段所形成的各个理论体系中，北来就具有产生悖论的可能性。但在人类认识世界的深化过程中，同样具备排除悖论的可能性和现实性。人类认识世界的过程没有终结，悖论的产生和排除也没有终结。因此，在绝对意义下去寻求产生悖论的终极原因或创造什么解决悖论的终极方法都是不符合实际的。

数学的真理性仅表现在数学系统无矛盾性的观点是不足取的。真理固然不应该有矛盾，但不自相矛盾的未必一定是真理。反过来，如微积分理论的基础打了几百年，无限集理论一开始就限入了矛盾，恰恰都是在不相容之中发展壮大的，所以不能把相容性视为真理的唯一标准。

    悖论问题的研究，对于数学基础理论、逻辑学、语言学和哲学的研究都是有意义的。总而言之，在21世纪的今天来讨论和研究悖论问题，首先应该把18世纪以前那种认为悖论只是茶余饭后的闲谈之物的看法排除，否则只能说明对数学基础和数理哲学的近代发展视而不见。当然，话又说回来，如果把研究悖论问题的意义及其重要性过分地夸张，或者强调到一个不适当的程度，则就既无必要也不符合实际