1.有关向量的知识

定义 数学中，既有大小又有方向的量叫做向量（与矢量不同，没有起点终点）（英文：vector） 注：在线性代数中的向量是指n个实数组成的有序数组，称为n维向量。

α=（a1,a2，…，an） 称为n维向量.其中ai称为向量α的第i个分量。 （"a1"的"1"为a的下标，"ai"的"i"为a的下标，其他类推）。

在C++中，也有向量。 向量（或矢量），最初被应用于物理学.很多物理量如力、速度、位移以及电场强 向量 度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿. 从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系. 向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起.18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a+bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算.把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题.人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学. 但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系.19世纪中期，英国数学家哈密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量.他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础.随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析. 三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪80年代各自独立完成的.他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数.他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积.并把向量代数推广到变向量的向量微积分.从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具。

编辑本段表示 1、代数表示：一般印刷用黑体小写字母α、β、γ … 或a、b、c … 等来表示 向量表示 ，手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示。 2、几何表示：向量可以用有向线段来表示。

有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。（若规定线段AB的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。

向量的几何表示 这种具有方向和长度的线段叫做有向线段。） 3、坐标表示： 1） 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为一组基底。

a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。由平面向量基本定理知，有且只有一对实数（x,y），使得 a=向量OP=xi+yj，因此把实数对（x,y）叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)。

这就是向量a的坐标表示。其中（x,y）就是点P的坐标。

向量OP称为点P的位置向量。 2） 在立体三维坐标系中，分别取与x轴、y轴，z轴方向相同的3个单位向量i,j, k作为一组基底。

若a为该坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。由空间基本定理知，有且只有一组实数（x,y, z） 向量的坐标表示 ，使得 a=向量OP=xi+yj+zk，因此把实数对（x,y, z）叫做向量a的坐标，记作a=(x,y, z)。

这就是向量a的坐标表示。其中（x,y, z），也就是点P的坐标。

向量OP称为点P的位置向量。 3） 当然，对于空间多维向量，可以通过类推得到，此略.编辑本段向量简介 在数学中，通常用点表示位置，用射线表示方向。

在平面内，从任一点出发的所有射线，可以分别用来表示平面内的各个方向。向量的表示常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

向量也可用字母a、b、c等表示，或用表示 向量机器模型 向量的有向线段的起点和终点字母表示。向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作|a|长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。

平行向量与相等向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。向量a、b、c平行，记作a∥b∥c。

0向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定，数学上规定0与任一向量平行。 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

向量a与b相等，记作a=b。零向量与零向量相等。

任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。 向量空间的同构 在域F上的两个向量空间V与V' ，如果存在一个双射φ：V→V'并且φ（αu+bv）=αφ（u）+bφ（v）,a,b∈F,u,v∈V.这样V与V' 便是同构。

向量线性映射 给两个向量空间V和W在同一个F场，设定由V到W的线性变换或“线性映射” . 这些由V到W的映射都有共同点就是它们保持总和及标量商数。这个集合包含所有由V到W的线性映像，以 L(V,W) 来描述，也是一个F场。

2.有关向量的知识,求精讲

1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

向量的加法OB+OA=OC。 a+b=(x+x',y+y')。

a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：（a+b）+c=a+(b+c)。

2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被 向量的减法减” a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。 当λ>0时，λa与a同方向； 当λ<0时，λa与a反方向； 向量的数乘当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。 注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当λ>1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸长为原来的∣λ∣倍； 当λ<1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或**反方向（λ<0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：（λa）·b=λ（a·b）=(a·λb)。 向量对于数的分配律（第一分配律）：（λ+μ）a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ（a+b）=λa+λb. 数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。4、向量的数量积 定义：已知两个非零向量a,b。

作OA=a,OB=b，则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。 向量的数量积的运算律 a·b=b·a（交换律）； （λa）·b=λ（a·b）（关于数乘法的结合律）； （a+b）·c=a·c+b·c（分配律）； 向量的数量积的性质 a·a=|a|的平方。

a⊥b 〈=〉a·b=0。 |a·b|≤|a|·|b|。

（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|） 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律，即：（a·b）·c≠a·（b·c）；例如：（a·b）^2≠a^2·b^2。 2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a·b=a·c (a≠0)，推不出 b=c。

3、|a·b|≠|a|·|b| 4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。5、向量的向量积 定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a*b（这里并不是乘号，只是一种表示方法，与“·”不同，也可记做“∧”）。

若a、b不共线，则a*b的模是：∣a*b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a*b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a*b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a*b=0。

向量的向量积性质： ∣a*b∣是以a和b为边的平行四边形面积。 a*a=0。

a垂直b〈=〉a*b=|a||b|。 向量的向量积运算律 a*b=-b*a； （λa）*b=λ（a*b）=a*（λb）; a*(b+c)=a*b+a*c. 注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

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3.谁能教教我有关向量的知识

向量 在初中课改教材初三课本中学习 高一必修4里学到[编辑本段]数量的定义 数学中，把只有大小但没有方向的量叫做数量（或纯量），物理中常称为标量。

[编辑本段]向量的定义 数学中，既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢（shi 3声）量）。 注：在线性代数中的向量是指n个实数组成的有序数组，称为n维向量。

α=（a1,a2，…，an） 称为n维向量.其中ai称为向量α的第i个分量。 （"a1"的"1"为a的下标，"ai"的"i"为a的下标，其他类推）。

[编辑本段]向量的表示 1、代数表示：一般印刷用黑体小写字母α、β、γ … 或a、b、c … 等来表示，手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示。 2、几何表示：向量可以用有向线段来表示。

有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。（若规定线段AB的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。

这种具有方向和长度的线段叫做有向线段。） 3、坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底。

a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。由平面向量基本定理知，有且只有一对实数（x,y），使得 a=向量OP=xi+yj，因此把实数对（x,y）叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)。

这就是向量a的坐标表示。其中（x,y）就是点P的坐标。

向量OP称为点P的位置向量。[编辑本段]向量的模和向量的数量 向量的大小，也就是向量的长度（或称模）。

向量a的模记作|a|。 注： 1、向量的模是非负实数，是可以比较大小的。

2、因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。

例如，“向量AB>向量CD”是没有意义的。[编辑本段]特殊的向量单位向量 长度为单位1的向量，叫做单位向量.与向量a同向且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0,a0=a/|a|。

零向量 长度为0的向量叫做零向量，记作0.零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a与b相等，记作a=b. 规定：所有的零向量都相等. 当用有向线段表示向量时，起点可以任意选取。

任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.同向且等长的有向线段都表示同一向量。自由向量 始点不固定的向量，它可以任意的平行移动，而且移动后的向量仍然代表原来的向量。

在自由向量的意义下，相等的向量都看作是同一个向量。 数学中只研究自由向量。

滑动向量 沿着直线作用的向量称为滑动向量。固定向量 作用于一点的向量称为固定向量（亦称胶着向量）。

位置向量 对于坐标平面内的任意一点P，我们把向量OP叫做点P的位置向量，记作：向量P。[编辑本段]相反向量 与a长度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量，记作-a。

有 -（-a）=a； 零向量的相反向量仍是零向量。平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共线）向量.向量a、b平行（共线），记作a‖b. 零向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定，我们规定：零向量与任一向量平行. 平行于同一直线的一组向量是共线向量。

共面向量 平行于同一平面的三个（或多于三个）向量叫做共面向量。 空间中的向量有且只有一下两种位置关系：⑴共面；⑵不共面。

只有三个或三个以上向量才谈共面不共面。[编辑本段]向量的运算 设a=(x,y),b=(x',y')。

1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。

a+b=(x+x',y+y')。 a+0=0+a=a。

向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：（a+b）+c=a+(b+c)。2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

当λ>0时，λa与a同方向； 当λ 当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。 实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ 当∣λ∣0）或反方向（λ 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：（λa）·b=λ（a·b）=(a·λb)。 向量对于数的分配律（第一分配律）：（λ+μ）a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ（a+b）=λa+λb. 数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。3、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b。

作OA=a,OB=b，则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。 向量的数量积的运算律 a·b=b·a（交换律）； （λa）·b=λ（a·b）（关于数乘法的结合律）； （a+b）·c=a·c+b·c（分。

4.向量的基本定理

1.平行的所有单位向量是（1k+2k），垂直的所有单位向量是（x,y）

k²+4k²=1²===>k=±√5/5===>（√5/5,2√5/5），（-√5/5,-2√5/5）

x+2y=0, x²+y²=1²===>x=±2√5/5,y=±√5/5

(x,y)===>(2√5/5，-√5/5),(-2√5/5，√5/5)

2.∵|a|=|b|=|a+b|=1， ∴|a|与|a+b|,|a+b|与|b|构成等边三角形，

又|a-b|=|a+(-b)|， ∴a与-b亦构成等边三角形，

∴|a-b|=2（√3/2）=√3

5.关于向量的内容

定义 数学中，既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量）。

向量的表示 注：在线性代数中的向量是指n个实数组成的有序数组，称为n维向量。α=（a1,a2，…，an） 称为n维向量.其中ai称为向量α的第i个分量。

（"a1"的"1"为a的下标，"ai"的"i"为a的下标，其他类推）。 在C++中，也有向量。

编辑本段来源 向量（或矢量），最初被应用于物理学.很多物理量如力、速度、位移以及电场强 向量 度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿. 从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系. 向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起.18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a+bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算.把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题.人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学. 但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系.19世纪中期，英国数学家哈密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量.他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础.随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析. 三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪80年代各自独立完成的.他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数.他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积.并把向量代数推广到变向量的向量微积分.从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具。 编辑本段表示 1、代数表示：一般印刷用黑体小写字母α、β、γ … 或a、b、c … 等来表示 向量表示 ，手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示。

2、几何表示：向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

（若规定线段AB的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。 向量的几何表示 这种具有方向和长度的线段叫做有向线段。）

3、坐标表示： 1） 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为一组基底。a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。

由平面向量基本定理知，有且只有一对实数（x,y），使得 a=向量OP=xi+yj，因此把实数对（x,y）叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)。这就是向量a的坐标表示。

其中（x,y）就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。

2） 在立体三维坐标系中，分别取与x轴、y轴，z轴方向相同的3个单位向量i,j, k作为一组基底。若a为该坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。

由空间基本定理知，有且只有一组实数（x,y, z） 向量的坐标表示 ，使得 a=向量OP=xi+yj+zk，因此把实数对（x,y, k）叫做向量a的坐标，记作a=(x,y, z)。这就是向量a的坐标表示。

其中（x,y, k），也就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。

3） 当然，对于空间多维向量，可以通过类推得到，此略. 编辑本段向量简介 在数学中，通常用点表示位置，用射线表示方向。在平面内，从任一点出发的所有射线，可以分别用来表示平面内的各个方向。

向量的表示向量的表示向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。向量也可用字母a、b、c等表示，或用表示 向量机器模型 向量的有向线段的起点和终点字母表示。

向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作|a|长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。 平行向量与相等向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

向量a、b、c平行，记作a∥b∥c。0向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定，数学上规定0与任一向量平行。

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。向量a与b相等，记作a=b。

零向量与零向量相等。任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。

向量空间的同构 在域F上的两个向量空间V与V' ，如果存在一个双射φ：V→V'并且φ（aμ bν）=aφ（μ） bφ（ν），a,b∈F，μ，ν∈V.这样V与V' 便是同构。 向量线性映射 给两个向量空间V和W在同一个F场，设定由V到W的线性变换或“线性映射” . 这些由V到W的映射都有共同点就是它们保持总和及标量商数。

这个集合包含所有由V到W的线性映像，以 L(V,W) 来描述，也是。

6.谁能教教我有关向量的知识

向量 在初中课改教材初三课本中学习 高一必修4里学到[编辑本段]数量的定义 数学中，把只有大小但没有方向的量叫做数量（或纯量），物理中常称为标量。

[编辑本段]向量的定义 数学中，既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢（shi 3声）量）。 注：在线性代数中的向量是指n个实数组成的有序数组，称为n维向量。

α=（a1,a2，…，an） 称为n维向量.其中ai称为向量α的第i个分量。 （"a1"的"1"为a的下标，"ai"的"i"为a的下标，其他类推）。

[编辑本段]向量的表示 1、代数表示：一般印刷用黑体小写字母α、β、γ … 或a、b、c … 等来表示，手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示。 2、几何表示：向量可以用有向线段来表示。

有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。（若规定线段AB的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。

这种具有方向和长度的线段叫做有向线段。） 3、坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底。

a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。由平面向量基本定理知，有且只有一对实数（x,y），使得 a=向量OP=xi+yj，因此把实数对（x,y）叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)。

这就是向量a的坐标表示。其中（x,y）就是点P的坐标。

向量OP称为点P的位置向量。[编辑本段]向量的模和向量的数量 向量的大小，也就是向量的长度（或称模）。

向量a的模记作|a|。 注： 1、向量的模是非负实数，是可以比较大小的。

2、因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。

例如，“向量AB>向量CD”是没有意义的。[编辑本段]特殊的向量单位向量 长度为单位1的向量，叫做单位向量.与向量a同向且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0,a0=a/|a|。

零向量 长度为0的向量叫做零向量，记作0.零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a与b相等，记作a=b. 规定：所有的零向量都相等. 当用有向线段表示向量时，起点可以任意选取。

任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.同向且等长的有向线段都表示同一向量。自由向量 始点不固定的向量，它可以任意的平行移动，而且移动后的向量仍然代表原来的向量。

在自由向量的意义下，相等的向量都看作是同一个向量。 数学中只研究自由向量。

滑动向量 沿着直线作用的向量称为滑动向量。固定向量 作用于一点的向量称为固定向量（亦称胶着向量）。

位置向量 对于坐标平面内的任意一点P，我们把向量OP叫做点P的位置向量，记作：向量P。[编辑本段]相反向量 与a长度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量，记作-a。

有 -（-a）=a； 零向量的相反向量仍是零向量。平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共线）向量.向量a、b平行（共线），记作a‖b. 零向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定，我们规定：零向量与任一向量平行. 平行于同一直线的一组向量是共线向量。

共面向量 平行于同一平面的三个（或多于三个）向量叫做共面向量。 空间中的向量有且只有一下两种位置关系：⑴共面；⑵不共面。

只有三个或三个以上向量才谈共面不共面。[编辑本段]向量的运算 设a=(x,y),b=(x',y')。

1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。

a+b=(x+x',y+y')。 a+0=0+a=a。

向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：（a+b）+c=a+(b+c)。2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

当λ>0时，λa与a同方向； 当λ 当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。 实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ 当∣λ∣0）或反方向（λ 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：（λa）·b=λ（a·b）=(a·λb)。 向量对于数的分配律（第一分配律）：（λ+μ）a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ（a+b）=λa+λb. 数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。3、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b。

作OA=a,OB=b，则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。 向量的数量积的运算律 a·b=b·a（交换律）； （λa）·b=λ（a·b）（关于数乘法的结合律）； 。

7.高中向量知识梳理

一、平面向量 定义：既有大小又有方向的量叫向量。

例：力、速度、加速度、冲量等 注意：1（数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 2（从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。

向量的定义以及有关概念 3（向量是既有大小又有方向的量。长度相等、方向相同的向量相等。

4（正因为如此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。 向量的表示方法： 1（几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫点） 2（字母表示法：可表示为（印刷时用黑体字） 模的概念：向量的大小——长度称为向量的模。

记作：|| 模是可以比较大小的 两个特殊的向量： 1（零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。

注意与0的区别 2（单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。 向量间的关系： 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

记作：∥∥；规定：与任一向量平行 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作：=；规定：= 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。

共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。 三、向量的加法 1.定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。

注意：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2.三角形法则：（口诀）“首尾相接” 注意： 1（“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 2（可以推广到n个向量连加 3( 4（不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3.加法的交换律和平行四边形法则 1（向量加法的平行四边形法则。2（向量加法的交换律：+=+ 3（向量加法的结合律：（+） +=+ （+） 向量的减法 用“相反向量”定义向量的减法 1（“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量。

记作 （a 2（规定：零向量的相反向量仍是零向量。（（（a） = a，任一向量与它的相反向量的和是零向量。

a + ((a) = 0，如果a、b互为相反向量，则a = (b, b = (a, a + b = 0 3（向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。 即：a ( b = a + ((b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。

用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a ( b 求作差向量：已知向量a、b，求作向量 作法：在平面内取一点O， 作= a, = b 则= a ( b 即a ( b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。 注意：1（表示a ( b。

强调：差向量“箭头”指向被减数 2（用“相反向量”定义法作差向量，a ( b = a + ((b) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一。 五、实数与向量的积 实数λ与向量的积，记作：λ 定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ 1（|λ|=|λ。

2（λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ= 运算定律：结合律：λ（μ）=（λμ） ① 第一分配律：（λ+μ）=λ+μ ② 第二分配律：λ（+）=λ+λ ③ 六、向量共线的充要条件（向量共线定理） 若有向量（（）、，实数λ，使=λ则由实数与向量积的定义知：与为共线向量 若与共线（（）且||：||=μ，则当与同向时=μ 当与反向时=（μ 从而得：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ 使=λ 七、平面向量基本定理： 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2 注意几个问题： 1（ 、必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底 2（ 这个定理也叫共面向量定理 3（λ1，λ2是被，，唯一确定的数量 八、平面向量数量积（内积）的定义，a(b = |a||b|cos（， 并规定0与任何向量的数量积为0。

（ 注意的几个问题；——两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 1（两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos（的符号所决定。 2（两个向量的数量积称为内积，写成a(b；今后要学到两个向量的外积a*b，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。

3（在实数中，若a(0，且a(b=0，则b=0；但是在数量积中，若a(0，且a(b=0，不能推出b=0。因为其中cos（有可能为0。

这就得性质2。 4（已知实数a、b、c(b(0)，则ab=bc ( a=c。

但是a(b = b(c ( a = c 如右图：a(b = |a||b|cos( = |b||OA| b(c = |b||c|cos( = |b||OA| (ab=bc 但a ( c 5（在实数中，有（a(b)c = a(b(c)，但是（a(b)c ( a(b(c) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。 向量的数量积的几何意义： 数量积a(b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos（的乘积。

两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。 1(e(a = a(e =|a|cos( 2(a(b ( a(b = 0 3（当a与b同向时，a(b = |a||b|；当a与b反向时，a(b = (|a||b|。

特别的a(a = |a|2或 4(cos( = 5(|a(b| ≤ |a||b| 平面向量的运算律 1、交换律：a ( b = b ( a 2、（a）(b =(a(b) = a((b) a + b)(c = a(c + b(c。