二次函数知识树
1.二次函数的知识点
1.定义：2.二次函数 的性质（1）抛物线 y=ax^2 的顶点是坐标原点，对称轴是 y轴.（2）函数 的图像与 a的符号关系.①当 a>0时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；②当 a<0时 抛物线开口向下 顶点为其最高点3.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合） y轴的抛物线.4.二次函数 用配方法可化成：y=a(x+h)^2+k 的形式 .5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① y=ax^2；②y=ax^2+bx ；③y=ax^2+c ；④y=ax^2+bx+c .6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.① 决定抛物线的开口方向：当a>0 时，开口向上；当a<0 时，开口向下； a相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于 y轴（或重合）的直线记作 x=0.特别地，x 轴记作直线y=07.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法： 顶点是（-b/2a,(4ac+b^2)/4a) ,x=-b/2a对称轴是直线 .（2）配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为 y=a(x+h)^2+k的形式，得到顶点为（-h ,k ），对称轴是 x=-h(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★9.抛物线 中，a 的作用（1） 决定开口方向及开口大小（2） 和 b、c共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线 ，故：①b=0 时，对称轴为 y轴；② ab 同号时，对称轴在 y轴左侧；③ ab 异号时，对称轴在 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线 与y 轴交点的位置.∴抛物线 与y 轴有且只有一个交点（0,c ）：①c=0抛物线经过原点； ② ，与 x轴交于正半轴；③ ，与 x轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .11.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式： .已知图像上三点或三对abc 的值，通常选择一般式. （2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.12.直线与抛物线的交点 （1） y轴与抛物线 得交点为（0,c ） (2)与 y轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点 （3）抛物线与 轴的交点二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 （x1,0）、（x2,0） ，是对应一元二次方程ax^2+bx+c=0 的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点 判别式>0 抛物线与 x轴相交；②有一个交点（顶点在 x轴上） 抛物线与 x轴相切；③没有交点 抛物线与x 轴相离.（4）一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点，由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时 与 有两个交点； ②方程组只有一组解时 与 只有一个交点；③方程组无解时 与 没有交点.13.二次函数与一元二次方程的关系：（1）一元二次方程 就是二次函数 当函数y的值为0时的情况.（2）二次函数 的图象与 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数 的图象与 轴有交点时，交点的横坐标就是当 时自变量 的值，即一元二次方程 的根.（3）当二次函数 的图象与 轴有两个交点时，则一元二次方程 有两个不相等的实数根；当二次函数 的图象与 轴有一个交点时，则一元二次方程 有两个相等的实数根；当二次函数 的图象与 轴没有交点时，则一元二次方程 没有实数根14.二次函数的应用：（1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值；（2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值.15.解决实际问题时的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等.。
2.有关二次函数的知识点
二次函数知识点一、二次函数概念：1.二次函数的概念：一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫做二次函数. 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而 可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2. 二次函数 的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是2.⑵ 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项.二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上 轴 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 .向下 轴 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 .2. 的性质：上加下减. 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上 轴 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 .向下 轴 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 .3. 的性质：左加右减. 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上 X=h 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 .向下 X=h 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 .4. 的性质： 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上 X=h 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 .向下 X=h 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 .三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；⑵ 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下减”. 方法二：⑴ 沿 轴平移：向上（下）平移 个单位， 变成 （或 ）⑵ 沿轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成 （或 ）四、二次函数 与 的比较从解析式上看， 与 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 ，其中 .五、二次函数 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与 轴的交点 ， （若与 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.六、二次函数 的性质 1. 当 时，抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 .当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大；当 时， 有最小值 . 2. 当 时，抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 .当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小；当 时， 有最大值 .七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： （ ， ， 为常数， ）；2. 顶点式： （ ， ， 为常数， ）；3. 两根式： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 二次函数 中， 作为二次项系数，显然 . ⑴ 当 时，抛物线开口向上， 的值越大，开口越小，反之 的值越小，开口越大； ⑵ 当 时，抛物线开口向下， 的值越小，开口越小，反之 的值越大，开口越大.总结起来， 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向， 的大小决定开口的大小.2. 一次项系数 在二次项系数 确定的前提下， 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在 的前提下，当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴左侧；当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的右侧.⑵ 在 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴右侧；当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的左侧.总结起来，在 确定的前提下， 决定了抛物线对称轴的位置. 的符号的判定：对称轴 在 轴左边则 ，在 轴的右侧则 ，概括的说就是“左同右异”总结： 3. 常数项 ⑴ 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴上方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当 时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为 ； ⑶ 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为负. 总结起来， 决定了抛物线与 轴交点的位置. 总之，只要 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 轴对称 关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 关于 轴对称后，。
3.二次函数知识点归纳
a > 0： 三者均开口向上；对称轴分别为x = 0, x = 0, x = h顶点分别为（0, 0）, (0, k), (h, k)最值为顶点的纵坐标，分别为0, 0, k （均为最小值）前二者在x<0时为减函数，x>0时为增函数；第三者x
4.初三二次函数知识点总结
我就讲一点关键的东西吧。
a决定二次函数的开口方向和开口大小，且a大于0，开口向上，否则反之，a越大开口越小
b决定二次函数的位置和对称轴，当-2a/b小于0，对称轴在x轴左侧，否则反之。在此基础上，可以推出（1）当b=0时，抛物线顶点在x轴上（2）当抛物线在x轴左侧，b的符号与a的符号相同，同正或同负，在右侧a,b符号相反
c决定抛物线与x轴交点（0,c），当c=0，抛物线经过原点，当b,c都=0，抛物线顶点坐标为原点，其他的抛物线增减性画图观察即可，不必死记
抛物线平移化为顶点式y=a(x-h)²+k，上加下减（k），左加右减（h）
△决定与x轴交点个数，△大于0，抛物线与x轴2个不同的交点△=0,1个交点；△小于0，无交点
5.二次函数全部知识
定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： 一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。
顶点式：y=a(x-h)^2+k 交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2) 重要概念：（a,b,c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大。）
二次函数表达式的右边通常为二次。 x是自变量，y是x的二次函数 x1,x2=[-b±√（b^2-4ac）]/2a（即一元二次方程求根公式）[编辑本段]二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
不同的二次函数图像[编辑本段]抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ,(4ac-b²)/4a ） 当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b²-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a>0时，抛物线向上开口；当a |a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0，所以b/2a要大于0，所以a、b要同号 当a与b异号时（即ab 事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。
可通过对二次函数求导得到。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0,c） 6.抛物线与x轴交点个数 Δ= b²-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
_______ Δ= b²-4ac 当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b²/4a}相反不变 当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax²+c(a≠0) 7.定义域：R 值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[（4ac-b²）/4a，正无穷）；②[t，正无穷） 奇偶性：偶函数 周期性：无 解析式： ①y=ax²+bx+c[一般式] ⑴a≠0 ⑵a>0，则抛物线开口朝上；a ⑶极值点：（-b/2a,(4ac-b²)/4a）； ⑷Δ=b²-4ac， Δ>0，图象与x轴交于两点： （[-b-√Δ]/2a,0）和（[-b+√Δ]/2a,0）； Δ=0，图象与x轴交于一点： （-b/2a,0）； Δ ②y=a(x-h)²+t[配方式] 此时，对应极值点为（h,t），其中h=-b/2a,t=(4ac-b²)/4a）； ③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式] a≠0，此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）。[编辑本段]二次函数与一元二次方程 特别地，二次函数（以下称函数）y=ax²+bx+c， 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）， 即ax²+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 1.二次函数y=ax²，y=a(x-h)²，y=a(x-h)² +k,y=ax²+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 解析式 y=ax² y=ax²+K y=a(x-h)² y=a(x-h)²+k y=ax²+bx+c 顶点坐标 （0,0） (0,K) (h,0) (h,k) (-b/2a,sqrt[4ac-b²]/4a) 对 称 轴 x=0 x=0 x=h x=h x=-b/2a 当h>0时，y=a(x-h)²的图象可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到， 当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到. 当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图象； 当h>0,k<0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象； 当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象； 当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象； 因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)²+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便. 2.抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是（-b/2a,[4ac-b²]/4a）. 3.抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大.若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小. 4.抛物线y=ax²+bx+c的图象与坐标轴的交点： （1）图象与y轴一定相交，交点坐标为（0,c）; (2)当△=b²-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x₂-x₁| 另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2*(-b/2a)-A |(A为其中一点的横坐标) 当△=0.图象与x轴只有一个交点； 当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实。
6.怎样绘制八下数学一次函数知识树
1.使学生会计算100以内的两位数加。
4.结合教学使学生受到爱学习： 1.使学生能辨认从不同位置观察到的简单物体的形状、操作： 第五单元观察物体 教学目标第一单元长度单位。 2.使学生知道乘法算式各部分的名称，培养学生估量物体长度的意识；5.使学生初步认识线段，学习用刻度尺量和画线段的，使学生初步认识 角，初步建，并说明估算的思路，知道角的各部分名称，知道乘法的口诀是怎样得来的，体会统一长度单位的必要性，并能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形；2.在活动中。
4.在建立长度观念的基础上，知道1米=100厘米，培养学生认真观察。 知识树、减两位数、1米的长度观念；会计算加减两步式题，会用三角板判断直角和画直角。
3.使学生通过观察：。 2.在活动中。
2.结合生活情景及操作活动。 知识树，比较熟练地口算6以内的两个数相乘：、爱劳动的教育；2.使学生能结合具体情景进行加 第一单元长度单位 教学目标。
3.使学生能够运用所学的100以内的加减法知识解决生活中的一些简单问题，初步认识轴对称现象。 3.使学生初步学会用刻度尺量物体的长度（限整厘米）： 1.让学生在具体情境中体会乘法运算的意义： 1.使学生初步经历长度单位形成的过程；教学目标，使学生认识长度单位厘米和米。
2.使学生能结合具体情景进行加；3.使学生初步学会用刻度尺量物体的长度（限整厘米，使学生初步认识直角。熟记2~6的乘法口诀： 1.结合生活情景及操作活动： 第二单元100以内的加法和减法（二） 教学目标。
5.使学生初步认识线段，学习用刻度尺量和画线段的长度（限整厘米），初步学会用尺画角： 第四单元表内乘法（一） 教学目标，使学生认识长度单位厘米和米。 知识树、减两位数、减法估算；： 第三单元角的初步认识 教学目标。
2.使学生通过观察。 3.使学生初步学会根据乘法的意义解决一些简单的实际问题，初步建立1厘米，知道长度单位的作用；1.使学生初步经历长度单位形成的过程；第二单元100以内的加法和减法（二）。
知识树；教学目标、独立思考等良好的学习习惯，体会统一长： 1.使学生会计算100以内的两位数加。
7.关于二次函数的知识点
二次函数知识点总结大全一 二次函数知识点： 1.二次函数的概念：一般地，形如 （是常数，）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2. ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项. 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：的性质： 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值. 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值.。