1.大学高等数学 闭区间上连续函数的性质类的证明题

证明：不失一般性，令：F(x)=f[x+(1/2)] - f(x)根据题意，显然，F(x)在[0,1/2]上连续又∵F(0)=f(1/2)-f(0)F(1/2)=f(1)-f(1/2)根据题意：f(0)=f(1)∴F(0)= -F(1/2)根据零点定理，至少∃ξ∈（0,1/2），使得：F（ξ）=0即：f[ξ+（1/2）] - f（ξ）=0因此：f[ξ+（1/2）]=f（ξ）当：F(0)=F(1/2)=0时，有：f(1)-f(1/2)=0f(1)=f(1/2)取ξ=1/2，则：f[ξ+（1/2）]=f（ξ）也成立综上：至少∃ξ∈（0,1/2]，使得：f[ξ+（1/2）]=f（ξ）证毕！另：本题区间题设有误。

2.大学里单调区间是开区间还是闭区间

单调区间可以是开区间或闭区间.

单调区间是指函数在某一区间内的函数值y，随自变量x的值增大而增大（或减小）恒成立。

性质

若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。

注：在单调性中有如下性质。图例：↑（增函数）↓（减函数）

↑+↑=↑ 两个增函数之和仍为增函数

↑-↓=↑ 增函数减去减函数为增函数

↓+↓=↓ 两个减函数之和仍为减函数

↓-↑=↓ 减函数减去增函数为减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I:

如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数。

3.高数证明：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最

都用到了聚点原理：闭区间[a,b]上的无穷数列{xn}一定有聚点，i.e.存在{xn}的子列{xk}及某个点y∈[a,b] s.t.

lim x(k) = y

证明：如果f(x)在[a,b]上无界，则存在序列{xn} s.t.

|f(xn)| ->无穷。

由聚点原理存在子列{xk}及y s.t. xk ->y。

由连续性f(xk)->f(y)。

但是{xk}是{xn}的子列，所以|f(xk)| ->无穷。矛盾。

下证能取到最小值。设m = inf{f(x): x∈[a,b]}

由下确界定义，存在{xn}s.t. f(xn)->m

仿照上面取y，利用连续性得到f(y) = m。

同理可证最大值

4.为什么是在闭区间1、X上连续

首先，如果你确实写得是”（1,x】“那应该改为（1,x】。因为你限定百的就是x>1而不是x≥1，因此1那里是取不到的。

然后，你是要严格证明（大学知识）还是就问个简单的为什么（中学知识）？后者度的话就是因为e^x的定义，图像，直接说就好了，中学不要求其证明过程。若是想问为什么是（1,x】那是因为（1,x】是（1，正无穷）的一个子区间（简单来说就是它中间的一部分）版，e^x在（1，正无穷）都连续，自然在其子区间（1,x】上也连续。前者则需要给出严格证明，思路如下：因为e^x在（1，正无穷）权上任意点的左极限等于右极限等于该点函数值，因此其在（1，正无穷）上处处连续。又因为x>1，所以（1,x】是（1，正无穷）的一个子区间，故其在（1,x】上也连续。

5.闭区间上的函数一定有界吗

1、函数在闭区间上连续，函数的极限存在，函数在x0的某一邻域内有界（函数极限的局部有界性）

2、证明：

反证法：

设函数f(x)在闭区间[a,b]连续，函数在[a,b]无界

将[a,b]划分为[a,a+b/2][a+b/2,b]，设函数在[a,a+b/2]无界（函数不可能在两个闭区间有界），设a=a1,a+b/2=b1

将[a1,b1]划分为[a1,a1+b1/2][a1+b1/2,b1]，设函数在[a1,a1+b1/2]无界，设a1=a2,a1+b1/2=b2

得到{[an,bn]}

f(x)在 {[an,bn]} 无界，∃ ξ ∈[an,bn]，且lim(n->；∞)an=lim(n->；∞)bn= ξ

由于ξ ∈[an,bn]，即ξ ∈[a,b],f(x)在ξ的某一邻域内极限存在，即∃常数M>0和δ >0，使得当x∈U（ ξ，δ）∩[a,b]成立时，有|f(x)|≤M （函数极限的局部有界性）

当n充分大时，[an,bn]∈U（ ξ，δ）∩[a,b]，与假设矛盾。

所以函数f(x)在[a,b]连续，f(x)在[a,b]有界。