第一章 集合(jihe)与函数概念
  一、集合(jihe)有关概念
  1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
  2、集合的中元素的三个特性：
  1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性
  说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
  (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
  (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
  (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
  3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
  1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
  2．集合的表示方法：列举法与描述法。
  注意啊：常用数集及其记法：
  非负整数集（即自然数集） 记作：N
  正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
  关于“属于”的概念
  集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 aA
  列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
  描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
  ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
  ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{xR| x-3>2}或{x| x-3>2}
  4、集合的分类：
  1．有限集 含有有限个元素的集合
  2．无限集 含有无限个元素的集合
  3．空集 不含任何元素的集合  例：{x|x2=－5｝
  二、集合间的基本关系
  1.“包含”关系—子集
  注意： 有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
  反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A
  2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)
  实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”
  结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B
  ① 任何一个集合是它本身的子集。AA
  ②真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)
  ③如果 AB, BC ,那么 AC
  ④ 如果AB 同时 BA 那么A=B
  3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
  规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
  三、集合的运算
  1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．
  记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
  2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．
  3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A,
  A∪φ= A ,A∪B = B∪A.
  4、全集与补集
  （1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即 ），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）
  记作： CSA 即 CSA ={x  xS且 xA}
  （2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。
  （3）性质：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U
  二、函数的有关概念
  1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
  注意：○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
  定义域补充
  能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
  (又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
  2． 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
  再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)
  (见课本21页相关例2)
  值域补充
  (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。
  3. 函数图象知识归纳
  (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．
  C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }
  图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
  (2) 画法
  A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
  B、图象变换法（请参考必修4三角函数）
  常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换
  (3)作用：
  1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。
  发现解题中的错误。
  4．快去了解区间的概念
  （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．
  5．什么叫做映射
  一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A B”
  给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
  说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
  6． 常用的函数表示法及各自的优点：
  ○1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；○2 解析法：必须注明函数的定义域；○3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；○4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
  注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值
  补充一：分段函数 （参见课本P24-25）
  在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
  补充二：复合函数
  如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f、g的复合函数。
  例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)
  7．函数单调性
  （1）．增函数
  设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1