作为一名数学爱好者，常常为现代数学的深度发展、广泛应用而感到兴奋不已，也为近现代以来辉煌而宏大的数学发展史，由衷的赞叹。

数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。

现代数学可以分为以下几个主要领域，各领域之间并没有什么严格的界限，而是相互交叉关联。1，数学基础：数理逻辑、公理化集合论、证明论、递归论、模型论等

2，几何：欧氏几何（包括平面几何与空间几何）、非欧几何（包括罗氏几何与黎曼几何）、解析几何、微分几何、射影几何、分形几何、仿射几何等

3，代数：初等代数、线性代数、抽象代数（包括群论、环论、域论等）、多项式代数、同调代数、张量代数等

4，拓扑学：几何拓扑、代数拓扑、微分拓扑、纤维丛论、同调论、同伦论等

5，数论：初等数论、解析数论、代数数论、概率数论、计算数论等

6，广义分析学：微积分（包括微分学、积分学、极限理论等）、函数论（包括实变函数论与复变函数论等）、泛函分析、计算数学、微分方程（包括常微分方程与偏微分方程）、积分方程、非标准分析、实分析、复分析等

7，应用数学：概率论、数理统计、运筹学等

8，其它：模糊数学、离散数学、代数几何等

现代数学研究范畴多为应用数学。主要通过建立数学模型分析解决自然科学、社会科学以及工程技术中的实际问题，并在这一过程中逐步形成新的数学理论和方法，包括微分方程与动力系统、概率论、组合论以及运筹学等研究领域。

一方面，自然科学和社会科学中的不断涌现的问题为应用数学的发展提供了重要的源泉。伽利略曾说“自然界这部巨著仅可以被那些懂得它的语言的人读懂，而这种语言就是数学”。比如，牛顿就是为了研究天体运动规律而发明了微积分，经常为人们称为应用数学的最高典范。现在，微积分已经成为几乎所有近代科学的基础。

另一方面，应用数学的发展也推动了科学和社会的进步。数学对自然科学的发展具有深远的影响。比如，当代任何一门成熟科学的研究都需要用数学语言来描述，在相应的数学模型的框架下来表达解决问题的思想和方法。数学的发展还促进了技术领域的进步。电子计算机的发明以及当今计算技术的发展均以数学为基础。从飞行器的模拟设计到医学扫描诊断，从互联网的搜索技术到信息安全技术，这些技术的发展都需要数学研究成果的支持。而应用数学在经济金融领域同样也发挥着不可忽视的重要作用。各种现代经济理论的建立均以数学作为基本工具，力图用数学的理论来描述经济发展规律。事实上，有些经济学家本身就是数学家，比如诺贝尔经济学奖获奖者纳什就是出色的数学家。

数学作为人类文化的一部分，在人类文明的进程中具有重要的推动作用。需要指出的是数学不仅具有科学性，还具有艺术性。罗素称“数学，如果正确地看，不但拥有真理，而且也具有至高无上的美”。数学的美主要表现在它的抽象性，简洁性和对称性，还体现在数学内部的和谐与统一。希望能够有更多的人能够理解与欣赏数学的美。

现代数学时期（20世纪40年代以来）,数学出现了三种新趋势一是不同分支交错发展．多种理论高度综合，数学逐步走向统一的趋势．自从克莱因用“群”的观点统一了当时的各种度量几何以后，许多数学家试图提出各种不同的方案来统一整个数学。

1938年法国布尔巴基学派提出“数学结构”的观点来统一整个数学，1948年爱伦伯克和桑·麦克伦提出用范畴和函子理论作为统一数学的基础．二是边缘学科、综合性学科和交叉学科与日俱增的趋势．现代数学在代数、几何、分析等原有基础学科的邻接领域产生出一系列的边缘学科．综合性学科是以多学科的理论知识和方法对特定的数学对象进行研究．数学与其他学科产生许多交叉学科，如计算物理学、生物数学、经济数学，数理语言学等。

20世纪60年代是数学研究思想发展的一个高峰时期，这一时期非标准分析、模糊数学、突变理论和泛系理论等．非标准分析使无穷小重返数坛，微积分的基础又得到新发展．突变理论使数学由研究连续变量和平滑过程发展到研究不连续(突变)过程．模糊数学使数学由研究精确领域发展到研究模糊领域和模拟人脑功能的领域．泛系理论应用广泛，在科学方法、思维科学数学化方面有重要意义．现代科学技术和生产实践将向数学提出更多、更复杂的新课题，必将产生许多更深刻的数学思想和更强有力的数学方法，数学将向更高、更广、更深的领域去探索、去开发。

进入21世纪后，这将近20年的时光里，数学的发展主要是集中在了对已有重大猜想问题的解决上其中，拓扑领域的著名猜想，庞加莱猜想于2006年为俄罗斯数学家佩雷尔曼所证明；数论领域的孪生素数猜想由华人数学家张益唐于2013年给出了近似证明；这是数论和拓扑领域的重大突破；另外，日本数学家望月新一于2012年给出的ABC猜想证明，虽然没有被数学家正式公认，但很可能其通过对ABC猜想的证明，已经建立起了一套新数论研究体系，其研究成果非常值得关注。

数学发展至今，已经成为一个分支众多，结构复杂的知识体系，并且仍然在不断发展中。数学研究有两个大的范畴，即基础数学(也称为纯粹数学)和应用数学。那么区分它们的标准是什么呢? 简而言之主要看其问题的直接来源是客观实际还是数学内部。由数学内部矛盾引出的问题发展起来的数学分支属纯粹数学。问题来自客观世界的属应用数学，然而还有些问题的界限并非很明显。

基础数学主要包括代数与数论、几何与拓扑以及分析三大部分，是整个数学学科的理论基础。从数学发展史中我们可以看到数学问题的最初产生来自客观世界, 以解决实际问题为目的，之后则按其自身的规律发展, 以至于原来的实际背景被淡化，逐渐地脱离原来的问题成为了逻辑上完整的体系。发现问题，提出问题，从特殊现象出发，归纳成抽象理论并加以推广是基础数学发展的主要模式。在这种模式下，基础数学的每个领域都形成了独特的方法和技巧。而当多个领域中的概念、方法和技巧相互结合在一起时，有时会给数学家们带来意外的惊喜，这当中最为著名的例子之一就是几何分析的发展。几何分析是几何与偏微分方程交叉产生的研究领域，它真正独立成为基础数学的一个主流学科主要由于丘成桐及其合作者在20世纪70年代的工作，这些成就改变了对于微分方程在微分几何中的作用的看法。而丘成桐本人也于1982年获得了数学菲尔兹奖。