1.高中向量知识梳理

一、平面向量 定义：既有大小又有方向的量叫向量。

例：力、速度、加速度、冲量等 注意：1（数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 2（从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。

向量的定义以及有关概念 3（向量是既有大小又有方向的量。长度相等、方向相同的向量相等。

4（正因为如此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。 向量的表示方法： 1（几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫点） 2（字母表示法：可表示为（印刷时用黑体字） 模的概念：向量的大小——长度称为向量的模。

记作：|| 模是可以比较大小的 两个特殊的向量： 1（零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。

注意与0的区别 2（单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。 向量间的关系： 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

记作：∥∥；规定：与任一向量平行 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作：=；规定：= 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。

共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。 三、向量的加法 1.定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。

注意：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2.三角形法则：（口诀）“首尾相接” 注意： 1（“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 2（可以推广到n个向量连加 3( 4（不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3.加法的交换律和平行四边形法则 1（向量加法的平行四边形法则。2（向量加法的交换律：+=+ 3（向量加法的结合律：（+） +=+ （+） 向量的减法 用“相反向量”定义向量的减法 1（“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量。

记作 （a 2（规定：零向量的相反向量仍是零向量。（（（a） = a，任一向量与它的相反向量的和是零向量。

a + ((a) = 0，如果a、b互为相反向量，则a = (b, b = (a, a + b = 0 3（向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。 即：a ( b = a + ((b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。

用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a ( b 求作差向量：已知向量a、b，求作向量 作法：在平面内取一点O， 作= a, = b 则= a ( b 即a ( b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。 注意：1（表示a ( b。

强调：差向量“箭头”指向被减数 2（用“相反向量”定义法作差向量，a ( b = a + ((b) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一。 五、实数与向量的积 实数λ与向量的积，记作：λ 定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ 1（|λ|=|λ。

2（λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ= 运算定律：结合律：λ（μ）=（λμ） ① 第一分配律：（λ+μ）=λ+μ ② 第二分配律：λ（+）=λ+λ ③ 六、向量共线的充要条件（向量共线定理） 若有向量（（）、，实数λ，使=λ则由实数与向量积的定义知：与为共线向量 若与共线（（）且||：||=μ，则当与同向时=μ 当与反向时=（μ 从而得：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ 使=λ 七、平面向量基本定理： 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2 注意几个问题： 1（ 、必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底 2（ 这个定理也叫共面向量定理 3（λ1，λ2是被，，唯一确定的数量 八、平面向量数量积（内积）的定义，a(b = |a||b|cos（， 并规定0与任何向量的数量积为0。

（ 注意的几个问题；——两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 1（两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos（的符号所决定。 2（两个向量的数量积称为内积，写成a(b；今后要学到两个向量的外积a*b，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。

3（在实数中，若a(0，且a(b=0，则b=0；但是在数量积中，若a(0，且a(b=0，不能推出b=0。因为其中cos（有可能为0。

这就得性质2。 4（已知实数a、b、c(b(0)，则ab=bc ( a=c。

但是a(b = b(c ( a = c 如右图：a(b = |a||b|cos( = |b||OA| b(c = |b||c|cos( = |b||OA| (ab=bc 但a ( c 5（在实数中，有（a(b)c = a(b(c)，但是（a(b)c ( a(b(c) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。 向量的数量积的几何意义： 数量积a(b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos（的乘积。

两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。 1(e(a = a(e =|a|cos( 2(a(b ( a(b = 0 3（当a与b同向时，a(b = |a||b|；当a与b反向时，a(b = (|a||b|。

特别的a(a = |a|2或 4(cos( = 5(|a(b| ≤ |a||b| 平面向量的运算律 1、交换律：a ( b = b ( a 2、（a）(b =(a(b) = a((b) a + b)(c = a(c + b(c。

2.求高中数学向量知识点

1、向量的加法： AB+BC=AC 设a=(x,y) b=(x',y') 则a+b=(x+x',y+y') 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

向量加法的性质： 交换律： a+b=b+a 结合律： （a+b）+c=a+(b+c) a+0=0+a=a 2、向量的减法 AB-AC=CB a-b=(x-x',y-y') 若a//b 则a=eb 则xy`-x`y=0· 若a垂直b 则a·b=0 则xx`+yy`=0 3、向量的乘法 设a=(x,y) b=(x',y') 用坐标计算向量的内积：a·b（点积）=x·x'+y·y' a·b=|a|·|b|*cosθ a·b=b·a (a+b)·c=a·c+b·c a·a=|a|的平方 向量的夹角记为∈[0，π] Ax+By+C=0的方向向量a=(-B,A) (a·b)·c≠a·（b·c） a·b=a·c不可推出b=c 设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使向量P1P=λ向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y) x=(x1+λx2)/(1+λ) 则有 y=(y1+λy2)/(1+λ) 我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣*∣a∣，当λ>0时，与a同方向；当λ 实数λ叫做向量a的系数，乘数向量的几何意义时把向量a沿着的方向或反方向放大或缩小。

3.高中数学向量公式有哪些

亲爱的楼主：设a=(x,y),b=(x',y')。

1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。

a+b=(x+x',y+y')。 a+0=0+a=a。

向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：（a+b）+c=a+(b+c)。2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

当λ>0时，λa与a同方向； 当λ 当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。 实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ 当∣λ∣0）或反方向（λ 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：（λa）·b=λ（a·b）=(a·λb)。 向量对于数的分配律（第一分配律）：（λ+μ）a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ（a+b）=λa+λb. 数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。3、向量的的数量积 定义：两个非零向量的夹角记为〈a,b〉，且〈a,b〉∈[0，π]。

定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。 向量的数量积的运算率 a·b=b·a（交换率）； （a+b）·c=a·c+b·c（分配率）； 向量的数量积的性质 a·a=|a|的平方。

a⊥b 〈=〉a·b=0。 |a·b|≤|a|·|b|。

向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律，即：（a·b）·c≠a·（b·c）；例如：（a·b）^2≠a^2·b^2。 2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a·b=a·c (a≠0)，推不出 b=c。

3、|a·b|≠|a|·|b| 4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。4、向量的向量积 定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a*b。

若a、b不共线，则a*b的模是：∣a*b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a*b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a*b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a*b=0。

向量的向量积性质： ∣a*b∣是以a和b为边的平行四边形面积。 a*a=0。

a∥b〈=〉a*b=0。 向量的向量积运算律 a*b=-b*a； （λa）*b=λ（a*b）=a*（λb）; (a+b)*c=a*c+b*c. 注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

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4.高中数学向量知识点

1、向量的加法：

AB+BC=AC

设a=(x,y) b=(x',y')

则a+b=(x+x',y+y')

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

向量加法的性质：

交换律：

a+b=b+a

结合律：

(a+b)+c=a+(b+c)

a+0=0+a=a

2、向量的减法

AB-AC=CB

a-b=(x-x',y-y')

若a//b

则a=eb

则xy`-x`y=0·

若a垂直b

则a·b=0

则xx`+yy`=0

3、向量的乘法

设a=(x,y) b=(x',y')

用坐标计算向量的内积：a·b（点积）=x·x'+y·y'

a·b=|a|·|b|*cosθ

a·b=b·a

(a+b)·c=a·c+b·c

a·a=|a|的平方

向量的夹角记为∈[0，π]

Ax+By+C=0的方向向量a=(-B,A)

(a·b)·c≠a·（b·c）

a·b=a·c不可推出b=c

设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使向量P1P=λ向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)

x=(x1+λx2)/(1+λ)

则有

y=(y1+λy2)/(1+λ)

我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

4、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣*∣a∣，当λ>0时，与a同方向；当λ实数λ叫做向量a的系数，乘数向量的几何意义时把向量a沿着的方向或反方向放大或缩小。

5.高一所有向量公式急高一所有向量公式急

设a=(x,y),b=(x',y').1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.AB+BC=AC.a+b=(x+x',y+y').a+0=0+a=a.向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a； 结合律：（a+b）+c=a+(b+c).2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0 AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣.当λ>0时，λa与a同方向； 当λ1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ0）或反方向（λ。

6.高中数学向量公式有哪些

亲爱的楼主：

设a=(x,y),b=(x',y')。

1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x',y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a;

结合律：（a+b）+c=a+(b+c)。

2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0

AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”

a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').

4、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

当λ>0时，λa与a同方向；

当λ当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ当∣λ∣0）或反方向（λ数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：（λa）·b=λ（a·b）=(a·λb)。

向量对于数的分配律（第一分配律）：（λ+μ）a=λa+μa.

数对于向量的分配律（第二分配律）：λ（a+b）=λa+λb.

数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

3、向量的的数量积

定义：两个非零向量的夹角记为〈a,b〉，且〈a,b〉∈[0，π]。

定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。

向量的数量积的运算率

a·b=b·a（交换率）；

(a+b)·c=a·c+b·c（分配率）；

向量的数量积的性质

a·a=|a|的平方。

a⊥b 〈=〉a·b=0。

|a·b|≤|a|·|b|。

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1、向量的数量积不满足结合律，即：（a·b）·c≠a·（b·c）；例如：（a·b）^2≠a^2·b^2。

2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a·b=a·c (a≠0)，推不出 b=c。

3、|a·b|≠|a|·|b|

4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。

4、向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a*b。若a、b不共线，则a*b的模是：∣a*b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a*b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a*b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a*b=0。

向量的向量积性质：

∣a*b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

a*a=0。

a∥b〈=〉a*b=0。

向量的向量积运算律

a*b=-b*a;

（λa）*b=λ（a*b）=a*（λb）;

(a+b)*c=a*c+b*c.

注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

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