1.抛物线初中知识点整理

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a ）当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0,c）

6.抛物线与x轴交点个数

Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2-4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

2.有关抛物线的所有知识点

[编辑本段]1、定义 平面内，到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹（或集合）称之为抛物线。

另外，F称为"抛物线的焦点"，l称为"抛物线的准线"。 定义焦点到抛物线的准线的距离为"焦准距"，用p表示.p>0. 以平行于地面的方向将切割平面插入一个圆锥，可得一个圆，如果倾斜这个平面直至与其一边平行，就可以做一条抛物线。

[编辑本段]2.抛物线的标准方程 右开口抛物线：y^2=2px 左开口抛物线：y^2=-2px 上开口抛物线：y=x^2/2p 下开口抛物线：y=-x^2/2p[编辑本段]3.抛物线相关参数（对于向右开口的抛物线） 离心率：e=1 焦点：（p/2,0） 准线方程l:x=-p/2 顶点：（0,0） 通径（定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）：2P[编辑本段]4.它的解析式求法： 知道P 带入一点[编辑本段]5.抛物线的光学性质： 经过焦点的光线经抛物线反射后的光线平行抛物线的对称轴.[编辑本段]6、其他 抛物线：y = ax^2 + bx + c (a=/0) 就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a(x-h)^2 + k 就是y等于a乘以（x-h）的平方+k h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 标准形式的抛物线在x0,y0点的切线就是 ：yy0=p(x+x0) 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程：y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为（p/2,0） 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py[编辑本段]7.用抛物线的对称性解题 我们知道，抛物线y = ax2 + bx + c ( a ≠0 )是轴对称图形，它的对称轴是直线x = - b/ 2a ，它的顶点在对称轴上。解决有关抛物线的问题时，若能巧用抛物线的对称性，则常可以给出简捷的解法。

例1 已知抛物线的对称轴是x =1，抛物线与y轴交于点（0,3），与x轴两交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。 分析 设抛物线的解析式为y = ax2 + bx + c 。

若按常规解法，则需要解关于a、b、c的三元一次方程组，变形过程比较繁杂；若巧用抛物线的对称性，解法就简捷了。因为抛物线的对称轴为x =1，与x轴两交点间的距离为4，由抛物线的对称性可知，它与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点。

于是可设抛物线的解析式为y = a(x+1)(x-3)。又因为抛物线与y轴交于点（0,3），所以3 = -3a。

故a =-1。 ∴y = -(x+1)(x-3)，即 y = - x2 + 2x +3。

例2 已知抛物线经过A(-1,2)、B(3,2)两点，其顶点的纵坐标为6，求当x =0时y的值。 分析 要求当x =0时y的值，只要求出抛物线的解析式即可。

由抛物线的对称性可知，A(-1,2)、B(3,2)两点是抛物线上的对称点。由此可知，抛物线的对称轴是x = 1。

故抛物线的顶点是（1,6）。于是可设抛物线的解析式为y = a(x-1)2+ 6。

因为点（-1,2）在抛物线上，所以4a + 6 = 2。故a = -1。

∴y = -(x-1)2+ 6，即 y = - x2 + 2x +5。 ∴当x =0时，y = 5。

例3 已知抛物线与x轴两交点A、B间的距离为4，与y轴交于点C，其顶点为（-1,4），求△ABC的面积。 分析 要求△ABC的面积，只要求出点C的坐标即可。

为此，需求出抛物线的解析式。由题设可知，抛物线的对称轴是x = -1。

由抛物线的对称性可知，A、B两点的坐标分别为（-3,0）、（1,0）。故可设抛物线的解析式为y = a(x+1)2+ 4[或y = a(x+3)(x-1)]。

∵点（1,0）在抛物线上， ∴4a + 4 = 0。∴a = -1。

∴y = -(x+1)2+ 4，即 y = - x2 - 2x +3。 ∴点C的坐标为（0,3）。

∴S△ABC = 1/2*(4*3)= 6。 例4 已知抛物线y = ax2 + bx + c的顶点A的纵坐标是4，与y轴交于点B，与x轴交于C、D两点，且-1和3是方程ax2 + bx + c =0的两个根，求四边形ABCD的面积。

分析 要求四边形ABCD的面积，求出A、B两点的坐标即可。为此，要求出抛物线的解析式。

由题设可知，C、D两点的坐标分别为（-1,0）、（3,0）。由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴是x = 1。

故顶点A的坐标是（1,4）。从而可设抛物线的解析式为y = a(x-1)2+ 4[或y = a(x+1)(x-3)]。

∵点（-1,0）在抛物线上， ∴4a + 4 = 0。故a = -1。

∴y = -(x-1)2+ 4，即 y = - x2 + 2x +3。 ∴点B的坐标为（0,3）。

连结OA ，则S四边形ABCD = S△BOC + S△AOB + S△AOD = 1/2*1*3+1/2*3*1+1/2*3*4=9[编辑本段]8.关于抛物线的相关结论 过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F作倾斜角为θ的直线L,L与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)，有 ① x1*x2 = p^2/4 , y1*y2 = —P^2 ② 焦点弦长：|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)^2] ③ （1/|FA|）+(1/|FB|)= 2/P。

3.初中所有函数知识点总结谁有

正比例函数的概念一般地，两个变量x,y之间的关系式可以表示成形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数，那么y就叫做x的正比例函数.正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数.正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数 y=kx+b 中，若b=0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数.正比例函数的关系式表示为：y=kx(k为比例系数)当K>0时（一三象限），K越大，图像与y轴的距离越近.函数值y随着自变量x的增大而增大.当K0时，图象位于第一、三象限，y随x的增大而增大（单调递增）；当k0），此时的y与x，同时扩大，同时缩小，比值不变.例如：汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？以上各种商都是一定的，那么被除数和除数. 所表示的两种相关联的量，成正比例关系. 注意：在判断两种相关联的量是否成正比例时应注意这两种相关联的量，虽然也是一种量，随着另一种的变化而变化，但它们相对应的两个数的比值不一定，它们就不能成正比例. 例如：一个人的年龄和它的体重，就不能成正比例关系，正方形的边长和它的面积也不成正比例关系.[编辑本段]反比例函数的定义一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数.因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0.而y=k/x有时也被写成xy=k或y=kx-¹.[编辑本段]反比例函数表达式y=k/x 其中X是自变量，Y是X的函数y=k/x=k·1/xxy=ky=k·x^-1y=k\x(k为常数（k≠0）,x不等于0）[编辑本段]反比例函数的自变量的取值范围① k ≠ 0； ②一般情况下 ，自变量 x 的取值范围是 x ≠ 0 的一切实数 ； ③函数 y 的取值范围也是一切非零实数 .[编辑本段]反比例函数图象反比例函数的图象属于双曲线，曲线越来越接近X和Y轴但不会相交（K≠0）.[编辑本段]反比例函数性质1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k0时.在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k0时，函数在x0上同为减函数；k0,b>0，这时此函数的图象经过第一、二、三象限.当 k>0,bx2.故选A.三、判断函数图象的位置例3.一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限由kb>0，知k、b同号.因为y随x的增大而减小，所以kY2当X0 且X≥（X1+X2）/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X≤（X1+X2）/2时Y随X的增大而减小此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）.[编辑本段]二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax^2+bx+c=0此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根.函数与x轴交点的横坐标即为方程的根.1.二次函数y=ax^2;,y=a(x-h)^2;,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：解析式 y=ax^2;y=ax^2+Ky=a(x-h)^2; y=a(x-h)^2+k y=ax^2+bx+c 顶点坐标 （0,0） (0,K)(h,0) (h,k) (-b/2a,4ac-b^2/4a) 对 称 轴 x=0 x=0x=h x=h x=-b/2a 当h>0时，y=a(x-h)^2；的图象可由抛物线y=ax^2；向右平行移动h个单位得到，当h0,k>0时，将抛物线y=ax^2；向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象；当h>0,k。

4.初中抛物线有哪些公式

y=ax²+bx+c(a≠0)的顶点坐标公式是 （-b/2a,(4ac-b²)/4a) y=ax²+bx的顶点坐标是 （-b/2a,-b²/4a）

抛物线弓形面积=S+1/4*S+1/16*S+1/64*S+……=4/3*S

两点间的距离公式设A(X1,Y1)、B(X2,Y2)， 则∣AB∣=√[（X1-X2）^2+(Y1-Y2)^2

抛物线公式：

一般式：y=aX2+bX+c(a、b、c为常数，a≠0)

顶点式：y=a(X-h)2+k(a、h、k为常数，a≠0)

交点式（两根式）：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)

其中 是抛物线y=aX2+bX+c(a、b、c为常数，a≠0)与x轴交点坐标，即方程aX2+bX+c=0的两实数根。

5.初中数学函数知识归纳

初中数学知识点归纳（口诀）——函数

正比例函数的鉴别

判断正比例函数，检验当分两步走。

一量表示另一量， 有没有。

若有再去看取值，全体实数都需要。

区分正比例函数，衡量可分两步走。

一量表示另一量， 是与否。

若有还要看取值，全体实数都要有。

正比例函数的图象与性质

正比函数图直线，经过 和原点。

K正一三负二四，变化趋势记心间。

K正左低右边高，同大同小向爬山。

K负左高右边低，一大另小下山峦。

一次函数

一次函数图直线，经过 点。

K正左低右边高，越走越高向爬山。

K负左高右边低，越来越低很明显。

K称斜率b截距，截距为零变正函。

反比例函数

反比函数双曲线，经过 点。

K正一三负二四，两轴是它渐近线。

K正左高右边低，一三象限滑下山。

K负左低右边高，二四象限如爬山。

二次函数

二次方程零换y，二次函数便出现。

全体实数定义域，图像叫做抛物线。

抛物线有对称轴，两边单调正相反。

A定开口及大小，线轴交点叫顶点。

顶点非高即最低。上低下高很显眼。

如果要画抛物线，平移也可去描点，

提取配方定顶点，两条途径再挑选。

列表描点后连线，平移规律记心间。

左加右减括号内，号外上加下要减。

二次方程零换y，就得到二次函数。

图像叫做抛物线，定义域全体实数。

A定开口及大小，开口向上是正数。

绝对值大开口小，开口向下A负数。

抛物线有对称轴，增减特性可看图。

线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。

如果要画抛物线，描点平移两条路。

提取配方定顶点，平移描点皆成图。

列表描点后连线，三点大致定全图。

若要平移也不难，先画基础抛物线，

顶点移到新位置，开口大小随基础。

【注】基础抛物线

6.人教版初中函数知识点总结 要最全的

函数及其图像 一、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。

二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 第一象限（+，+） 第二象限（-，+） 第三象限（-，-） 第四象限（+，-）2、坐标轴上的点的特征 在x轴上纵坐标为0 ， 在y轴上横坐标为， 原点坐标为（0,0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上 x与y相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 x与y互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征 点P与点p'关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数 点P与点p'关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数 点P与点p'关于原点对称 横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）到x轴的距离等于 （2）到y轴的距离等于 （3）到原点的距离等于 三、函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。

2、函数的三种表示法（1）解析法（2）列表法（3）图像法3、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表（2）描点（3）连线4、自变量取值范围 四、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，如果 （k,b是常数，k 0），那么y叫做x的一次函数。特别地，当一次函数 中的b为0时， （k为常数，k 0）。

这时，y叫做x的正比例函数。2、一次函数的图像：是一条直线3、正比例函数的性质，，一般地，正比例函数 有下列性质：（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。

4、一次函数的性质，，一般地，一次函数 有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而增大 （2）当k<0时，y随x的增大而减小5、正比例函数和一次函数解析式的确定 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式 （k 0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式 （k 0）中的常数k和b。

解这类问题的一般方法是待定系数法。6、设两条直线分别为， ： ： 若 且 。

若 7、平移：上加下减，左加右减。8、较点坐标求法：联立方程组 五、反比例函数 1、反比例函数的概念 一般地，函数 （k是常数，k 0）叫做反比例函数。

反比例函数的解析式也可以写成 或xy=k的形式。自变量x的取值范围是x 0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

2、反比例函数的图像是双曲线。3、反比例函数的性质（1）当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。

在每个象限内，y随x 的增大而减小。 （2）当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。

在每个象限内，y随x 的增大而增大。（3） 图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

（4）图像既是轴对称图形又是中心对称图形 （5）图像上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标轴所围成矩形面积等于|k|4、反比例函数解析式的确定 只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。六、二次函数 1、二次函数的概念：一般地，如果 ，那么y叫做x 的二次函数。

2、二次函数的图像是一条抛物线。3、二次函数的性质：（1）a>0抛物线开口向上，对称轴是x= ，顶点坐标是（ ， ）；在对称轴的左侧，即当x< 时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x> 时，y随x的增大而增大；抛物线有最低点，当x= 时，y有最小值， （2） a<0抛物线开口向下，对称轴是x= ，顶点坐标是（ ， ）；在对称轴的左侧，即当x< 时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x> 时，y随x的增大而减小，；抛物线有最高点，当x= 时，y有最大值， 4、.二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式： （2）顶点式： （3）两根式： 5、抛物线 中， 的作用： 表示开口方向： >0时，抛物线开口向上，，， <0时，抛物线开口向下 与对称轴有关：对称轴为x= ,a与b左同右异 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0, ）6、二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的 ，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。当 >0时，图像与x轴有两个交点；当 =0时，图像与x轴有一个交点；当 <0时，图像与x轴没有交点。

7、求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：顶点是 ，对称轴是直线 . （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为（ ， ），对称轴是直线 .8、平移： 可以由 平移得到。上加下减，左加右减。