数学二次函数知识点
1.【初三二次函数主要知识点】
初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1.二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数. 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2. 二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2. ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项.二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 的符号\x09开口方向\x09顶点坐标\x09对称轴\x09性质\x09向上\x09\x09轴\x09时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值.\x09向下\x09\x09轴\x09时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值.2. 的性质：上加下减.的符号\x09开口方向\x09顶点坐标\x09对称轴\x09性质\x09向上\x09\x09轴\x09时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值.\x09向下\x09\x09轴\x09时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值.3. 的性质： 左加右减.的符号\x09开口方向\x09顶点坐标\x09对称轴\x09性质\x09向上\x09\x09X=h\x09时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值.\x09向下\x09\x09X=h\x09时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值.4. 的性质：的符号\x09开口方向\x09顶点坐标\x09对称轴\x09性质\x09向上\x09\x09X=h\x09时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值.\x09向下\x09\x09X=h\x09时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值.三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下减”. 方法二：⑴沿轴平移：向上（下）平移个单位，变成（或）⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）四、二次函数与的比较 从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中.五、二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 六、二次函数的性质 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为.当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值. 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为.当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值.七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：（，为常数，）； 2. 顶点式：（，为常数，）； 3. 两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 二次函数中，作为二次项系数，显然. ⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； ⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大. 总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小. 2. 一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在的前提下， 当时，即抛物线的对称轴在轴左侧； 当时，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，即抛物线对称轴在轴的右侧. ⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即 当时，即抛物线的对称轴在轴右侧； 当时，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，即抛物线对称轴在轴的左侧. 总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置. 的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”总结： 3. 常数项 ⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； ⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负. 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置. 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式. 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点。
2.二次函数的知识点
二次函数I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2;+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P(h,k)]交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P [ -b/2a ,(4ac-b^2;)/4a ]。
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线向上开口；当a|a|越大，则抛物线的开口越小。4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0,c）6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。Δ= b^2-4acV.二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2;+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax^2;+bx+c=0此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。答案补充画抛物线y=ax2时，应先列表，再描点，最后连线。
列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。二次函数解析式的几种形式（1）一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).(3)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a≠0.说明：（1）任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是（h,k）,h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上；当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点答案补充如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax^2+k定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。
IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大。)则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。x是自变量，y是x的函数二次函数的三种表达式①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)②顶点式[抛物线的顶点 P(h,k) ]:y=a(x-h)^2+k③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2)以上3种形式可进行如下转化：①一般式和顶点式的关系对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为（-b/2a,(4ac-b^2)/4a），即h=-b/2a=(x1+x2)/2k=(4ac-b^2)/4a②一般式和交点式的关系x1,x2=[-b±√（b^2-4ac）]/2a（即一元二次方程求根公式）。
3.二次函数知识点
★二次函数知识点归纳★一、二次函数的几种形式：1. 的性质：的图像及性质的符号 草图 开口方向 向上 向下顶点坐标 对称轴 轴（直线x=0） 轴（直线x=0）增减性 时，随的增大而减小时，随的增大而增大 时，随的增大而增大时，随的增大而减小最值 时，有最小值. 时，有最大值.开口大小 越大，抛物线的开口越小2. 的性质：的图像及性质的符号 草图 开口方向 向上 向下顶点坐标 对称轴 轴（直线x=0） 轴（直线x=0）增减性 时，随的增大而减小时，随的增大而增大 时，随的增大而增大时，随的增大而减小最值 时，有最小值. 时，有最大值.平移规律 上加下减3. 的性质：的图像及性质的符号 草图 开口方向 向上 向下顶点坐标 对称轴 直线x=h 直线x=h增减性 时，随的增大而减小时，随的增大而增大 时，随的增大而增大时，随的增大而减小最值 时，有最小值. 时，有最大值平移规律 左加右减。
4. 的性质：的图像及性质的符号 草图 开口方向 向上 向下顶点坐标 对称轴 直线x=h 直线x=h增减性 时，随的增大而减小时，随的增大而增大 时，随的增大而增大时，随的增大而减小最值 时，有最小值. 时，有最大值.平移规律 左加右减，上加下减5、的性质二次函数的符号 草图 开口方向 向上 向下顶点坐标 （，） （，）对称轴 直线X= 直线X=增减性 x<时，随的增大而减小x>时，随的增大而增大 x<时，随的增大而增大x>时，随的增大而减小最值 当x=时，y有最小值， 当x=时，y有最大值，平移规律 左加右减，上加下减二、二次函数的图象与各项系数之间的关系1、抛物线与轴交点：（由的值来决定） 与轴总有交点坐标为，；的值 与轴交点 草图与轴交点在轴上方 与轴交点为坐标原点 与轴交点在轴下方 2、抛物线与轴交点：（由b2-4ac的值来决定） 求与轴的交点坐标，需解一元二次方程；判别式 抛物线与轴交点情况 一元二次方程跟的情况 与轴有两个交点 有两个不相等实根 与轴只有一个交点 有两个相等的实数根 与轴无交点 无实数根.3、对称轴情况：（由a、b的值共同决定）由、共同决定 对称轴情况 草图 在轴左侧 是轴 轴的右侧 也可由的符号判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”三、二次函数解析式的确定： ①. 一般式：； ②. 顶点式：； ③. 两根式：. 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.——————————————————————————————一元二次函数知识点汇总1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的一元二次函数.2.二次函数的性质（1）抛物线的顶点是原点，对称轴是轴.（2）函数的图像与的符号关系： ①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点3.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.5.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①决定抛物线的开口方向： 当时，开口向上；当时，开口向下；越小，抛物线的开口越大，越大，抛物线的开口越小。 ②对称轴为平行于轴（或重合）的直线，记作.特别地，轴记作直线. ③定点是抛物线的最值点[最大值（时）或最小值（时）]，坐标为（，）。
6.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.（2）配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为（，），对称轴是. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★7.抛物线中，的作用（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故： ①时，对称轴为轴；②时，对称轴在轴左侧；③时，对称轴在轴右侧.（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①；②；③；④；⑤.图像特征如下：函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时开口向上当时开口向下 （轴） （0,0） （轴） （0, ） (,0) (,) ()9.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系） （1）轴与抛物线得交点为（） （2）与轴平行的直线与抛物线有且只。
4.二次函数的知识点归纳
最低0.27元/天开通百度文库会员，可在文库查看完整内容> 原发布者：1504714087QQ 二次函数知识点（第一讲）一、二次函数概念：1.二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2.二次函数的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2.⑵是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项.二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。2.的性质：（上加下减）3.的性质：（左加右减）4.的性质：三、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；⑵保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2.平移规律在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下减”.方法二：⑴沿轴平移：向上（下）平移个单位，变成（或）⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）四、二次函数与的比较从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中.五、二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点。
5.所有二次函数公式
顶点式y=a(x-h)^2+k 两根式y=a(x-X)(x-X)应用：顶点式y=a(x-h)^2+k 例1：一个二次函数的顶点是（3,1），且过点（0,10） 则可以设这个二次函数的的解析式为：y=a(x-3)^2+1 又因为过点（0,10） 代入可得 10=a(0-3)^2+1 解得 a =1 所以这个二次函数的解析式为y=(x-3)^2+1 化解得：y=x^2-6x+10 例1：一个二次函数的两根x1=1 ,x2=3，且过点（0,9） 则可以设这个二次函数的的解析式为：y=a(x-1)(x-3) 又因为过点（0,9） 代入可得 9=a(0-1)(0-3) 解得 a =3 所以这个二次函数的解析式为y=3(x-1)(x-3) 化解得：y=3x^2-12x+9。
6.求二次函数的所有知识点,谢谢
我们把形如y=ax^2+bx+c（七种a,b,c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数（quadratic function），称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
一般的，形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函数叫二次函数。自变量（通常为x）和因变量（通常为y）。
右边是整式，且自变量的最高次数是2。注意，“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未e68a84e799bee5baa6e79fa5e9819331333264656664知数的最高次数为二次的多项式函数”。
未知数只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），变量可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。
从函数的定义也可看出二者的差别。二次函数的解法 二次函数的通式是 y= ax^2+bx+c如果知道三个点 将三个点的坐标带入也就是说三个方程解三个未知数如题方程一8=a2+b2+c 化简 8=c 也就是说c就是函数与Y轴的交点方程二7=a*62+b*6+c 化简 7=36a+6b+c方程三7=a*(-6)2+b*(-6)+c化简 7=36a-6b+c解出a,b,c 就可以了 上边这种是老老实实的解法 对（6,7）(-6,7)这两个坐标 可以求出一个对称轴也就是X=0 通过对称轴公式x=-b/2a 也可以算 如果知道过x轴的两个坐标（y=0的两个坐标的值叫做这个方程的两个根）也可以用对称轴公式x=-b/2a算 或者使用韦达定理一元二次方程ax+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中 设两个根为X1和X2 则X1+X2= -b/aX1·X2=c/a一般式 y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为（-b/2a,4ac-b^2;/4a）顶点式 y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为（h,k）对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式交点式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线，即b^2-4ac≥0] 由一般式变为交点式的步骤：∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a∴y=ax^2+bx+c=a(x^2+b/ax+c/a)=a[﹙x2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2)重要概念：a,b,c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。
a>0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。
a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。牛顿插值公式（已知三点求函数解析式） y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。
由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1·x2)(y1为截距) 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。求根公式 x是自变量，y是x的二次函数x1,x2=[-b±（√（b^2-4ac）]/2a （即一元二次方程求根公式）（如右图） 求根的方法还有因式分解法和配方法二次函数与X轴交点的情况当△=b^2-4ac>0时， 函数图像与x轴有两个交点。
当△=b^2-4ac=0时，函数图像与x轴有一个交点。当△=b^2-4ac<0时，函数图像与x轴没有交点。
7.二次函数知识点归纳
a > 0： 三者均开口向上；对称轴分别为x = 0, x = 0, x = h顶点分别为（0, 0）, (0, k), (h, k)最值为顶点的纵坐标，分别为0, 0, k （均为最小值）前二者在x<0时为减函数，x>0时为增函数；第三者x
8.二次函数有什么知识点
二次函数 I.定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.) 则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式 一般式：y=ax^2;+bx+c(a,b,c为常数，a≠0) 顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P(h,k)] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系： h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a III.二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 2.抛物线有一个顶点P，坐标为 P [ -b/2a ,(4ac-b^2;)/4a ]。
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线向上开口；当a|a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0,c） 6.抛物线与x轴交点个数 Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ= b^2-4acV.二次函数与一元二次方程 特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2;+bx+c， 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）， 即ax^2;+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 画抛物线y=ax2时，应先列表，再描点，最后连线。
列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。 二次函数解析式的几种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0). (2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0). (3)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a≠0. 说明：（1）任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是（h,k）,h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上；当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点 如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax^2+k定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。
还可以决定开口大小，越大开口就越小，越小开口就越大。) 则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x是自变量，y是x的函数 二次函数的三种表达式 ①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0) ②顶点式[抛物线的顶点 P(h,k) ]:y=a(x-h)^2+k ③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2) 以上3种形式可进行如下转化： ①一般式和顶点式的关系 对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为（-b/2a,(4ac-b^2)/4a），即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a ②一般式和交点式的关系 x1,x2=[-b±√（b^2-4ac）]/2a（即一元二次方程求根公式）。
9.《二次函数》全部知识点和例题
I.定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.) 则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式 一般式：y=ax^2;+bx+c(a,b,c为常数，a≠0) 顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P(h,k)] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系： h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a III.二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 2.抛物线有一个顶点P，坐标为 P [ -b/2a ,(4ac-b^2;)/4a ]。
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线向上开口；当a0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b^2-4ac。
10.有关二次函数的知识点
二次函数知识点一、二次函数概念：1.二次函数的概念：一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而 可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2. 二次函数 的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是2.⑵ 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项.二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质向上 轴 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 .向下 轴 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 .2. 的性质：上加下减。
的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质向上 轴 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 .向下 轴 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 .3. 的性质：左加右减。 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质向上 X=h 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 .向下 X=h 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 .4. 的性质： 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质向上 X=h 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 .向下 X=h 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 .三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；⑵ 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下减”. 方法二：⑴ 沿 轴平移：向上（下）平移 个单位， 变成 （或 ）⑵ 沿轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成 （或 ）四、二次函数 与 的比较从解析式上看， 与 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 ，其中 .五、二次函数 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与 轴的交点 ， （若与 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.六、二次函数 的性质 1. 当 时，抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 .当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大；当 时， 有最小值 . 2. 当 时，抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 .当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小；当 时， 有最大值 .七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： （ ， ， 为常数， ）；2. 顶点式： （ ， ， 为常数， ）；3. 两根式： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 二次函数 中， 作为二次项系数，显然 . ⑴ 当 时，抛物线开口向上， 的值越大，开口越小，反之 的值越小，开口越大； ⑵ 当 时，抛物线开口向下， 的值越小，开口越小，反之 的值越大，开口越大.总结起来， 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向， 的大小决定开口的大小.2. 一次项系数 在二次项系数 确定的前提下， 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在 的前提下，当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴左侧；当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的右侧.⑵ 在 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴右侧；当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的左侧.总结起来，在 确定的前提下， 决定了抛物线对称轴的位置. 的符号的判定：对称轴 在 轴左边则 ，在 轴的右侧则 ，概括的说就是“左同右异”总结： 3. 常数项 ⑴ 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴上方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当 时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为 ； ⑶ 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为负. 总结起来， 决定了抛物线与 轴交点的位置. 总之，只要 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 轴对称 关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 。