圆锥曲线与方程知识点总结
1.求高中数学<圆锥曲线与方程>的知识点总结
圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0
一、圆锥曲线的方程和性质： 1）椭圆 文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
标准方程： 1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：（x^2/a^2）+(y^2/b^2)=1 其中a>b>0,c>0,c^2=a^2-b^2. 2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：（x^2/b^2）+(y^2/a^2)=1 其中a>b>0,c>0,c^2=a^2-b^2. 参数方程： X=acosθ Y=bsinθ （θ为参数 ，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆 此时c=0，圆的acosθ=r） 2）双曲线 文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。
标准方程： 1.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：（x^2/a^2）-(y^2/b^2)=1 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 2.中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：（y^2/a^2）-(x^2/b^2)=1. 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 参数方程： x=asecθ y=btanθ （θ为参数 ） 3）抛物线 标准方程： 1.顶点在原点，焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：y^2=2px 其中 p>0 2.顶点在原点，焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：y^2=-2px 其中 p>0 3.顶点在原点，焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：x^2=2py 其中 p>0 4.顶点在原点，焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x^2=-2py 其中 p>0 参数方程 x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ（tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t可等于0 直角坐标 y=ax^2+bx+c （开口方向为y轴， a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴， a<>0 ） 圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为 ρ=ep/(1-e*cosθ) 其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。 二、焦半径 圆锥曲线上任意一点到焦点的距离称为焦半径。
圆锥曲线左右焦点为F1、F2，其上任意一点为P(x,y)，则焦半径为： 椭圆 |PF1|=a+ex |PF2|=a-ex 双曲线 P在左支，|PF1|=-a-ex |PF2|=a-ex P在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=-a+ex P在下支，|PF1|= -a-ey |PF2|=a-ey P在上支，|PF1|= a+ey |PF2|=-a+ey 抛物线 |PF|=x+p/2 三、圆锥曲线的切线方程 圆锥曲线上一点P(x0,y0)的切线方程 以x0x代替x^2，以y0y代替y^2；以（x0+x）/2代替x，以（y0+y）/2代替y 即椭圆：x0x/a^2+y0y/b^2=1； 双曲线：x0x/a^2-y0y/b^2=1； 抛物线：y0y=p(x0+x) 四、焦准距 圆锥曲线的焦点到准线的距离p叫圆锥曲线的焦准距，或焦参数。 椭圆的焦准距：p=(b^2)/c 双曲线的焦准距：p=(b^2)/c 抛物线的准焦距：p 五、通径 圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦成为通径。
椭圆的通径：（2b^2）/a 双曲线的通径：（2b^2）/a 抛物线的通径：2p 六、圆锥曲线的性质对比 见下图： 七、圆锥曲线的中点弦问题 已知圆锥曲线内一点为圆锥曲线的一弦中点，求该弦的方程 ⒈联立方程法。 用点斜式设出该弦的方程（斜率不存在的情况需要另外考虑），与圆锥曲线方程联立求得关于x的一元二次方程和关于y的一元二次方程，由韦达定理得到两根之和的表达式，在由中点坐标公式的两根之和的具体数值，求出该弦的方程。
2.点差法，或称代点相减法。 设出弦的两端点坐标（x1,y1）和（x2,y2），代入圆锥曲线的方程，将得到的两个方程相减，运用平方差公式得[（x1+x2）·（x1-x2）]/(a^2)+[(y1+y2)·（y1-y2）/(b^2]=0 由斜率为（y1-y2）/(x1-x2)可以得到斜率的取值。
（使用时注意判别式的问题）。
2.圆锥曲线考点
圆锥曲线的内容无非是双曲线，抛物线，椭圆，如果是选择题，常考到双曲线或椭圆的离心率，做不出时可以考虑用第一定义试试（点到两定点距离之差为定值，则为双曲线等等定义），填空题常要求一些符合题设条件下三角形的面积或最值，取值范围，如焦点三角形的面积，大题常考抛物线，椭圆与直线相结合的问题，一般两小题，第一小题送分，一般是根据已知条件求椭圆或抛物线的方程，注意取值范围，第二小题很灵活，但有得分点，一般都会考到韦达定理（联立方程，求⊿>0,1分，列出x1+x2=,x1x2=,2分，如果有判断存在与否的一定不要忘了判断，蒙对了也有1分，学好圆锥曲线关键在概念的明确，主要考察计算的细心，所以需要一定量的练习，做的多了就会有感觉的，我今年参加的高考，希望对你有帮助。
3.求圆锥曲线与方程需要用到的知识
直线方程：1\过点（a,b），斜率为k，则直线为y-b=k(x-a)2\斜率为k，与y轴交点为（0,b），则直线为y=kx+b3\过两点（a,b）,(m,n)，则直线为（y-b）/(n-b)=(x-a)/(m-a)4\直线与两坐标轴交点分别为（a,0）,(0,b)，则直线为x/a+y/b=1 5\以上四种方式都可以整理为Ax+By+c=0的形式，A\B不同时为零.圆的方程：1\圆心为（a,b），半径为r，则圆为（x-a）^2+(y-b)^2=r^22\圆的一般方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(D^2+E^2-4F>0)。
4.求圆锥曲线与方程的公式定理
1.离心率 0-1是椭圆，1是抛物线，大于1是双曲线。
离心率是标准方程中的c/a，也是图像上某点到焦点的距离比该点到准线的距离。（有些灵活的小题需要这样转化）2.标准方程中的字母关系（这个不用多说了吧）3.圆锥曲线与直线方程联立的综合运用 主要就是消去一个字母，再用韦达定理（这里要灵活应用，多做题多总结）。
这里还可以引伸出“弦长公式”（不过就是由两点间的距离公式+直线斜率共同推导的）。值得注意的是垂直问题转化为向量方便计算，转化为圆有时候会比较简捷（这种不常用）。
这些还都是要学好知识后，做题总结（或者说找到感觉）。无非就是两种方向，一是死算，一是技巧。
死算就没啥可说的了，学好课本就行了。技巧也可分为两个方向，一是运用概念来转化问题，一是把代数问题转化为几何问题或解析几何。
以上都是本人的观点，仅供参考。
5.关于圆锥曲线知识点总结
解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。
它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。
在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。1、三种圆锥曲线的研究 （1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集： ，其中F为定点，d为P到定直线的l距离，F l，如图。
因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。当0
（2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆：{P||PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|>0,F1、F2为定点}，双曲线{P。
PF1|-|PF2||=2a,|F1F2|>2a>0,F1,F2为定点}。（3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。①定性：焦点在与准线垂直的对称轴上 椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。
②定量：椭 圆 双 曲 线 抛 物 线 焦 距2c 长轴长2a —— 实轴长 ——2a 短轴长2b 焦点到对应 准线距离 P=2 p 通径长2· 2p 离心率1 基本量关系 a2=b2+c2 C2=a2+b2 (4)圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变） 举焦点在x轴上的方程如下：椭 圆 双 曲 线 抛 物 线 标准方程 （a>b>0） (a>0,b>0) y2=2px(p>0) 顶 点 （±a,0） (0，±b) （±a,0） (0,0) 焦 点 （±c,0） ( ,0) 准 线 X=± x= 中 心 （0,0） 有界性 |x|≤a |y|≤b |x|≥a x≥0 焦半径 P(x0,y0)为圆锥曲线上一点，F1、F2分别为左、右焦点 |PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0 P在右支时： |PF1|=a+ex0 |PF2|=-a+ex0 P在左支时： |PF1|=-a-ex0 |PF2|=a-ex0 |PF|=x0+ 总之研究圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。2、直线和圆锥曲线位置关系 （1）位置关系判断：△法（△适用对象是二次方程，二次项系数不为0）。
其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。
(2)直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解。 当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。
4、圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。
6.关于圆锥曲线中用方程与函数思想的运用的总结
【知识结构】 【命题趋势分析】 从近三年高考情况看，圆锥曲线的定义、方程和性质仍是高考考查的重点内容，三年平均占分20分，约为全卷分值的13.3%，在题型上一般安排选择、填空、解答各一道，分别考查三种不同的曲线，而直线与圆锥曲线的位置关系又是考查的重要方面。
例1 (2002年江苏卷理科第13题)椭圆 的一个焦点是（0,2），则k________________________________________。 分析 本题主要考查椭圆的标准方程，先将其化为标准形式，然后求解。
解 椭圆方程即 ∴ ，∴由 解得k=1。 点评 由焦点在y轴上，其标准方程应化为 的形式，若此题变化为：已知曲线 的焦距为4，则k_____________________________________。
则应分两种情况讨论：（1）若为椭圆，则k=1;(2)若为双曲线，方程即为 ∴ ，由 ，由 ，得 。 例2 (2001年全国卷理科第14题)双曲线 的两个焦点为 ，点P在双曲线上，若 ，则点P到x轴的距离为_________________________________。
分析 本题主要考查双曲线的定义，从“形”的角度看，只需求出 斜边 上的高，可用第一定义求解；从“数”的角度看，只需求出点P的纵坐标 ，先利用第二定义即焦半径公式表示出 ， ，由勾股定理求出 ，再代入双曲线方程即可求出 的值；由于点P在以 为直径的圆上，因此，解决本题一个最基本的方法，则是利用交迹法求出点P。 解法一 设 ，且由双曲线的对称性不妨设点P在第一象限，则m―n=2a―6 ①， ②， ②-① 得2mn=64，∵mn=32，作PQ⊥x轴于Q，则在 中， ，即点P到x轴的距离为 ， 解法二 设 ，由第二定义可得 ， ，∵ ， ∴ ， 即 ，这里a=3 c=5 ，代入得 。
∴由双曲线方程得 ，∴ 。 解法三 设 ，∵ ∴点P在以 为直径的圆上，即 ①，又点P在双曲线上， ∴ ②，由①，②消去 ，得 ，∴ 。
点评 （1）由双曲线的对称性，可将点P设定在第一象限内，而不必考虑所有的情况。 （2）解题的目标意识很重要，例如在解法一中只需整体求出mn的值，而不必将m,n解出；在解法三中只需求 即可； （3）在三种解法中，以解法三最简洁，因此，最基本的方法有时也是最有效的方法。
（4）如果将问题改为：当 为钝角时，点P的横坐标的取值范围是________________________________。 那么，可先求出使 时的点P的横坐标为 ，由图形直观及双曲线的范围可得 ，2000年高考理科第14题考查了椭圆中与此类似的问题。
例3 (2000年全国卷理科第11题)过抛物线 的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则 等于（ ） A.2a B. C.4a D. 分析 此题主要考查抛物线的定义与标准方程，可利用焦半径公式来解决。 解 抛物线方程即 ，记 ，则F(0,m)，而直线PQ的方程可设为x=k(y-m)，代入抛物线方程 得 ， 设 ，则 而 ， 于是， ， 。
故， 。 当k=0时，易证结论也成立，因而选C。
点评 （1）由于所给抛物线的焦点在y轴上，故其焦点是 ，焦半径公式是 ，而不能写成 。（2）解题中，令 以及将直线PQ的方程设为x=k(y-m)，都是为了简化运算。
（3）作为一道选择题，如此解法显然是不经济的，可以利用上节例5中的结论3直接得出结果，因此，记住一些重要结论，对提高解题效率无疑是有益的。（4）特例法也是解选择题的常用的解题方法，本题只需考虑PQ//x轴，即为通径的情况，可立即得出结果。
例4 (2001年全国卷理科第19题)设抛物线 的焦点F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//x轴，证明直线AC经过坐标原点O。 分析 本小题主要考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力，证明三点共线，只须证明OC、OA两直线的斜率相等，也可利用抛物线的性质证明AC与x轴的交点N恰为EF的中点，从而N与O重合，证得结论。
解法一 易知焦点 ，设直线AB的方程是 ，代入抛物线方程得 设 ，则 ，即 。 因BC//x轴，且C在准线1上，故点 ，且 ，从而 ，从而 ， ， 于是， ，从而A、O、C三点共线，即直线AC经过原点O。
解法二 如图，设准线1交x轴于点E,AD⊥1于D，连AC交EF于点N，由AD//EF//BC， 得 ，即 ，① ，即 ，② 又由抛物线的性质可知，|AD|=|AF|,|BC|=|BF|，代入①②可得|EN|=|NF|，即N为EF的中点，于是N与点O重合，即直线AC经过原点O。 点评 （1）本例解法一利用曲线的方程研究曲线的性质，充分体现了用坐标法研究几何问题的基本思想，而解法二则充分利用了抛物线的几何性质及相似三角形中的有关知识。
（2）在解法一中，直线AB方程的设法值得推崇，从思路分析看，若证 ，即证 ，将 代入后即证 ，即证 ，为此应通过直线AB的方程及抛物线方程 联立消去x得到关于y的一元二次方程，解法一中的这一设法，既回避了直线方程的变形过程使运算简单，同时也回避了当AB⊥x轴的情况的讨论，若将AB方程设为 ，则必须对k不存在的情况作出说明。（3）试验修订本（必修）《数学》第二册（上） 习题8.6第6题是：过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证直线MQ平行于抛物线的对称轴，可见，这道高考题实际上是课本习题的一个逆命题，同学们在平时的学习中，对课本典型例题，习题要加强研究。
例5 (2002年。
7.我想知道圆锥曲线的知识点总结,平时最容易考到的题的总结等
椭圆 一、知识表格 项目 内容 第一定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫椭圆。
第二定义 平面内到定点与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹叫椭圆。 图形 标准方程 几 何 性 质 范围 顶点与长短轴的长 焦点焦距 准线方程 焦半径 左 下 焦准距 离心率 （越小，椭圆越近似于圆） 准线间距 对称性 椭圆都是关于轴成轴对称，关于原点成中心对称 通径 焦点三角形 椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形，其周长为，解题中常用余弦定理和勾股定理来进行相关的计算 焦点弦三角形 椭圆的一焦点与过另一焦点的弦组成的三角形，其周长为。
参数方程 为参数） 为参数） 注意： 1、椭圆按向量平移后的方程为：或，平移不改变点与点之间的相对位置关系（即椭圆的焦准距等距离不变）和离心率。 2、弦长公式： 已知直线：与曲线交于两点，则 或 3、中点弦问题的方法：①方程组法，②代点作差法。
两种方法总体都体现高而不求的数学思想。 双曲线 项目 内容 第一定义 平面内与两个定点的距离之差等于常数（小于）的点的轨迹叫双曲线。
第二定义 平面内到定点与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹叫双曲线。 图形 标准方程 几 何 性 质 范围 顶点与实虚轴的长 焦点焦距 准线方程 焦半径 当在右支上时 左 当在左支上时 左 当在上支上时 下 当在下支上时 下 渐近线方程 焦准距 离心率 （越小，双曲线开口越小），等轴双曲线的 准线间距 对称性 双曲线都是关于轴成轴对称，关于原点成中心对称 通径 焦点三角形 双曲线上一点与双曲线的两个焦点组成的三角形，解题中常用余弦定理和勾股定理来进行相关的计算 焦点弦三角形 双曲线的一焦点与过另一焦点的弦组成的三角形。
参数方程 为参数） 为参数） 项目 内容 定义 平面内到定点的距离等于到定直线距离的点的轨迹叫抛物线。 图形 标准方程 几 何 性 质 范围 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦准距 顶点坐标 坐标原点（0,0） 焦点坐标 准线方程 对称轴 轴 轴 轴 轴 离心率 通径长 焦半径 抛物线 一、焦点弦的结论：（针对抛物线：其中），为过焦点的弦，则 1、焦点弦长公式： 2、通径是焦点弦中最短的弦其长为 3、，， 4、以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切 5、已知、在准线上的射影分别为、，则三点、、共线，同时 、、三点也共线 6、已知、在准线上的射影分别为、，则 7、二、顶点直角三角形：直角顶点在抛物线顶点的三角形与其对称轴交于一个定点 ，反之，过定点的弦所对的顶点角为直角。
三、从抛物线的焦点出发的光线经抛物线反射后与抛物线的对称轴平行。 椭圆基础练习题 椭圆（一） 1.椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.10 2.椭圆的焦点坐标是（ ） A.（±5,0） B.(0，±5) C.(0，±12) D.（±12,0） 3.已知椭圆的方程为，焦点在x轴上，则其焦距为（ ） A.2 B.2 C.2 D. 4.，焦点在y轴上的椭圆的标准方程是 .5.方程表示椭圆，则α的取值范围是（ ） A. B. C.∈Z) D. ∈Z） 椭圆（二） 1.设F1、F2为定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则动点M的轨迹是 （ ） A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 2.椭圆的左右焦点为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为 （ ） A.32 B.16 C.8 D.4 3.设α∈（0，），方程表示焦点在x轴上的椭圆，则α∈ （） A.(0, B.(,) C.(0,) D.〔，） 4.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是______. 5.方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是______. 6.在△ABC中，BC=24,AC、AB的两条中线之和为39，求△ABC的重心轨迹方程. 椭圆（三） 1.选择题 （1）已知椭圆上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离是 （ ）A.2 B.3 C.5 D.7 (2)已知椭圆方程为，那么它的焦距是 （ ） A.6 B.3 C.3 D. (3)如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 （ ） A.(0，+∞) B.(0,2) C.(1，+∞) D.(0,1) (4)已知椭圆的两个焦点坐标是F1(-2,0),F2(2,0)，并且经过点P（)，则椭圆标准方程是______. （5）过点A(-1,-2)且与椭圆的两个焦点相同的椭圆标准方程是______. （6）过点P(,-2),Q(-2,1)两点的椭圆标准方程是______. 椭圆（四） 1.设0≤α A.(, ) B.(, ) C.(,) D.（，π） 2.方程（a>b>0,k>0且k≠1），与方程（a>b>0）表示的椭圆 （ ） A.有等长的短轴、长轴 B.有共同的焦点 C.有公共的准线 D.有相同的离心率 3.中心在原点，焦点在x轴上，焦距等于6，离心率等于，则此椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 4.若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ） A.-16。