1.八上数学勾股定理知识结构图

勾股定理

1.勾股定理：

文字表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

数学表达：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。

2.勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明。

3.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长满足两边长的平方和等于另一边的平方，那么这个三角形是直角三角形。满足的三个正整数称为勾股数。

勾股定理的应用：（例如：2005年珠峰高度复测行动。）

2.勾股定理知识点总结

必修作业模版内容1.教学设计学科名称2.所在班级情况，学生特点分析3.教学内容分析4.教学目标5.教学难点分析6.教学课时7.教学过程8.课堂练习9.作业安排10. 附录（教学资料及资源）11. 自我问答 北师大版八年级数学（上册）教师用书第一章 勾股定理1.1 探索勾股定理课前预习·教学有方◎点击关键词 勾股定理 平方 证明 计算 应用◎目标导航船 1.通过拼图活动和勾股定理的文化背景了解，让学生发现勾股定理.2. 能利用材料，通过剪、拼图验证勾股定理. 3. 能运用勾股定理根据直角三角形的两条边求第三条边，并能解决简单的生活、生产实践中的问题. 3.重点：勾股定理的证明及应用。

4.难点：学生数学语言的运用。◎创意开场白 勾股定理是在前面学习了直角三角形一些性质的基础上学习的，它是几何的重要定理之一，它揭示了直角三角形三边的数量关系，它将形与数密切联系起来，在数学的发展中起着非常重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用.学生通过对勾股定理的学习，对直角三角形有进一步的认识和理解，为今后学习解直角三角形打下基础。

一、欣赏图片引人2002年国际数学家大会把“赵爽弦图”确定为本届大会的会徽。你见过这个图案吗？你听说过勾股定理吗？引入新课 §18.1勾股定理二、了解历史引人商高是公元前十一世纪的中国人。

当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。

商高说："…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。"什么是"勾、股"呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。

商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成"勾三股四弦五"。

由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作"商高定理"。三、从一个美丽的故事引人世界的许多科学家正在试探着寻找“外星人”，人们为了取得与外星人的联系，想了很多方法。

早在1820年，德国著名数学家高斯曾提出，可在西伯利亚的森林里伐出一片直角三角形的空地，然后在这片空地里种上麦子，以三角形的三条边为边种上三片正方形的松树林，如果有外星人路过地球附近，看到这个巨大的数学图形，便会知道：这个星球上有智慧生命。我国数学家华罗庚也曾提出：若要沟通两个不同星球的信息交往，最好利用太空飞船带上这个图形，并发射到太空中去。

四、从一个著名问题引人《九章算术》有一勾股定理名题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”本题的意思是：（如图1）有一水池一丈见方，池中生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，如把它引向岸边，正好与岸边齐。问水有多深，该植物有多长？图1教师通过将实际问题转化成直角三角形的三边关系问题，从而出示课题——勾股定理。

◎温故而知新【温故】1、三角形按照角的大小可以分为：锐角三角形、直角三角形、和钝角三角形。2、三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边。

【知新】勾股定理：1.直角三角形 两直角边的平方和 等于 斜边的平方 .2.几何语言表述：如图1.1-1，在RtΔABC中， C= 90°。则： BC 2+ AC 2= AB 2若BC=a,AC=b,AB=c，则上面的定理可以表示为： 图1.1-1乐学好思1到目前为止，学过的直角△ABC的主要性质是：（如图1.1-2）∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系： ；⑵若D为斜边中点，则斜边中线等于斜边的一半；⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边： ；⑷三边之间的关系： . ABCD图1.1-2我的疑问： 课堂研习·一点即通◎知识全突破●知识点1 探索勾股定理 导航指数■■■■□□1、请在坐标纸上画出一个直角三角形，使它的两条直角边分别是3和4，分别以三边向外做正方形，如图1.1-3，计算A的面积 B的面积 C的面积如图 16 9 25ABC图1.1-3小组讨论，交流SA+SB=SC结论：2、请你利用坐标纸，自己选取你喜欢的两个数作为直角边，探索上述关系是否依旧成立？（如图1.1-4）ABC图1.1-4结论：SA+SB=SC即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积.问题：1、猜想是否所有的直角三角形的三边都具有此性质？用直角边是a、b，斜边是c的四个全等直角三角形（图1.1-5）拼成（图1.1-6）.观察图形并思考、填空：大正方形的面积可表示为：（a+b）2 这个大正方形的面积还可以怎么表示？；于是可列等式为；将等式化简、整理，得。

小结：勾股定理图1.1-7直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.如图1.1-7，即：若△ABC中， ∠ACB=90° ，则 .变形：若∠ACB=90°，则a2= c2 -b2 b2 = c2 - a2教师在此基础上介绍“勾，股，弦”的含义，进行点题，结合直角三角形，让学生从中体验勾股定理蕴含的深刻的数形结合思想。●知识点2 定理证明：你会证明勾股定理吗？ 导航指数■■■■■勾股定理的证明方法有数百种之多，现列举两种典型证法。

请根据老师分组选取一种证法加以研究，并将结果与其他小组进行交流！（一）拼图法——藏与。

3.勾股定理的应用重点知识点

勾股定理的应用重点知识点第一、①面积法证明勾股定理；②在直角三角形中已知任意两边求第三边；③斜边上高h与a、b、c关系；→an=ch④用相似三角形可以纯数学证明勾股定理，并有知二求四。

第二、①勾股定理证明的特殊性；②在直角三角形中已知一边，并且另外两边数量上存在关系，求另外的两条边；③在直角三角形中已知一边，且有一个角为30°或45°求另外两边。第三、直角三角形所有已的性质。

①角的性质：两锐角互余；②边的性质：勾股定理；③边与角的性质：ⅰ.30°角所对的直角边等于斜边的一半；ⅱ.含30°角的直角三角形三边之比为1：√3:2；ⅲ.含45°角的直角三角形三边之比为1:1：√2.第四、勾股定理在实际生活中的应用。如求距离，如确定是否直角等。

4.勾股定理知识点总结

必修作业模版内容 1.教学设计学科名称 2.所在班级情况，学生特点分析 3.教学内容分析 4.教学目标 5.教学难点分析 6.教学课时 7.教学过程 8.课堂练习 9.作业安排 10. 附录（教学资料及资源） 11. 自我问答 北师大版八年级数学（上册）教师用书 第一章 勾股定理 1.1 探索勾股定理 课前预习·教学有方 ◎点击关键词 勾股定理 平方 证明 计算 应用 ◎目标导航船 1.通过拼图活动和勾股定理的文化背景了解，让学生发现勾股定理. 2. 能利用材料，通过剪、拼图验证勾股定理. 3. 能运用勾股定理根据直角三角形的两条边求第三条边，并能解决简单的生活、生产实践中的问题. 3.重点：勾股定理的证明及应用。

4.难点：学生数学语言的运用。 ◎创意开场白 勾股定理是在前面学习了直角三角形一些性质的基础上学习的，它是几何的重要定理之一，它揭示了直角三角形三边的数量关系，它将形与数密切联系起来，在数学的发展中起着非常重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用.学生通过对勾股定理的学习，对直角三角形有进一步的认识和理解，为今后学习解直角三角形打下基础。

一、欣赏图片引人 2002年国际数学家大会把“赵爽弦图”确定为 本届大会的会徽。 你见过这个图案吗？ 你听说过勾股定理吗？ 引入新课 §18.1勾股定理 二、了解历史引人 商高是公元前十一世纪的中国人。

当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。

商高说："…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。"什么是"勾、股"呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。

商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成"勾三股四弦五"。

由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作"商高定理"。 三、从一个美丽的故事引人 世界的许多科学家正在试探着寻找“外星人”，人们为了取得与外星人的联系，想了很多方法。

早在1820年，德国著名数学家高斯曾提出，可在西伯利亚的森林里伐出一片直角三角形的空地，然后在这片空地里种上麦子，以三角形的三条边为边种上三片正方形的松树林，如果有外星人路过地球附近，看到这个巨大的数学图形，便会知道：这个星球上有智慧生命。 我国数学家华罗庚也曾提出：若要沟通两个不同星球的信息交往，最好利用太空飞船带上这个图形，并发射到太空中去。

四、从一个著名问题引人 《九章算术》有一勾股定理名题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.” 本题的意思是：（如图1）有一水池一丈见方，池中生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，如把它引向岸边，正好与岸边齐。问水有多深，该植物有多长？ 图1 教师通过将实际问题转化成直角三角形的三边关系问题，从而出示课题——勾股定理。

◎温故而知新 【温故】 1、三角形按照角的大小可以分为：锐角三角形、直角三角形、和钝角三角形。 2、三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边。

【知新】 勾股定理： 1.直角三角形 两直角边的平方和 等于 斜边的平方 . 2.几何语言表述：如图1.1-1，在RtΔABC中， C= 90°。 则： BC 2+ AC 2= AB 2 若BC=a,AC=b,AB=c， 则上面的定理可以表示为： 图1.1-1 乐学好思1 到目前为止，学过的直角△ABC的主要性质是：（如图1.1-2）∠C=90°，（用几何语言表示） ⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D为斜边中点，则斜边中线等于斜边的一半； ⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边： ； ⑷三边之间的关系： . A B C D 图1.1-2 我的疑问： 课堂研习·一点即通 ◎知识全突破 ●知识点1 探索勾股定理 导航指数■■■■□□ 1、请在坐标纸上画出一个直角三角形，使它 的两条直角边分别是3和4，分别以三边向外做正方形，如图1.1-3，计算 A的 面积 B的 面积 C的 面积 如图 16 9 25 A B C 图1.1-3 小组讨论，交流 SA+SB=SC 结论： 2、请你利用坐标纸，自己选取你喜欢的两个数作为直角边，探索上述关系是否依旧成立？（如图1.1-4） A B C 图1.1-4 结论：SA+SB=SC 即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积. 问题： 1、猜想是否所有的直角三角形的三边都具有 此性质？用直角边是a、b，斜边是c的四个全等直角三角形（图1.1-5）拼成（图1.1-6）. 观察图形并思考、填空： 大正方形的面积可表示为：（a+b）2 这个大正方形的面积还可以怎么表示？ ； 于是可列等式为 ； 将等式化简、整理，得 。

小结：勾股定理 图1.1-7 直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.如图1.1-7， 即：若△ABC中， ∠ACB=90° ，则 . 变形：若∠ACB=90°， 则a2= c2 -b2 b2 = c2 - a2 教师在此基础上介绍“勾，股，弦”的含义，进行点题，结合直角三角形，让学生从中体验勾股定理蕴含的深刻的数形结合思想。 ●知识点2 定理证明：你会证明勾股定理吗？ 导航指数■■■■■ 勾股定理的证明方法有数百种之多，现列举两种典型证法。

请根据老师分组选取一种证法加以研究，并将结。