1.初级的几何应该先学习什么

一、学好基础知识

学好几何基础知识是学好证明的前提条件。定义、公理、定理等基础知识是进行几何证明的理论依据，必须深刻理解，彻底掌握，这样才能正确运用它们。

二、练好基本功

1. 使学生逐步熟悉使用几何语言，过好语言关

几何语言可分为文字语言、符号语言与图形语言。要学好它，关键要把几何图形与文字语言相联系，切实掌握文字语言、符号语言和图形语言互译的技巧。

2. 学会正确识图与画图，过好图形关

几何图形是几何的主要研究对象。识图，是指观察、分析几何图形，做到既能识别表示各个概念的简单图形，又能在复杂图形中识别出表示某个概念的图形。所谓画图，是指能独立而正确地画出表示概念的各种图形，注意题与图的对应关系，使所画图形符合题意。

2.几何原本主要内容

目录 第一卷 几何基础 第二卷 几何与代数 第三卷 圆与角 第四卷 圆与正多边形 第五卷 比例 第六卷 相似 第七卷 数论（一） 第八卷 数论（二） 第九卷 数论（三） 第十卷 无理量 第十一卷 立体几何 第十二卷 立体的测量 第十三卷 建正多面体 各卷简介 第一卷：几何基础。重点内容有三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件，第一卷最后两个命题是 毕达哥拉斯定理的正逆定理； 第二卷：几何与代数。讲如何把三角形变成等积的正方形；其中12、13命题相当于余弦定理。 第三卷：本卷阐述圆，弦，切线，割线，圆心角，圆周角的一些定理。 第四卷：讨论圆内接和外切多边形的做法和性质； 第五卷：讨论比例理论，多数是继承自欧多克斯的比例理论，被认为是"最重要的数学杰作之一" 第六卷：讲相似多边形理论，并以此阐述了比例的性质。 第五、第七、第八、第九、第十卷：讲述比例和算术的理论；第十卷是篇幅最大的一卷，主要讨论无理量（与给定的量不可通约的量），其中第一命题是极限思想的雏形。 第十一卷、十二、十三卷：最后讲述立体几何的内容. 从这些内容可以看出，目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在《几何原本》里了。因此长期以来，人们都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准教科书。属于《几何原本》内容的几何学，人们把它叫做欧几里得几何学，或简称为欧氏几何在几何学上的影响和意义 在几何学发展的历史中，欧几里得的《几何原本》起了重大的历史作用。这 欧几里得

种作用归结到一点，就是提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构的问题。在他写的《几何原本》中，就是用逻辑的链子由此及彼的几何学，这项工作，前人未曾作到。《几何原本》的诞生，标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。并且《几何原本》中的命题1.47，证明了是欧几里德最先发现的勾股定理，从而说明了欧洲是最早发现勾股定理的大洲。 论证方法上的影响 关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析法、综合法和归谬法。所谓分析法就是先假设所要求的已经得到了，分析这时候成立的条件，由此达到证明的步骤；综合法是从以前证明过的事实开始，逐步的导出要证明的事项；归谬法是在保留命题的假设下，否定结论，从结论的反面出发，由此导出和已证明过的事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果，从而证实原来命题的结论是正确的，也称作反证法。 作为教材的影响 从欧几里得发表《几何原本》到现在，已经过去了两千多年，尽管科学技术日新月异，由于欧氏几何具有鲜明的直观性和有着严密的逻辑演绎方法相结合的特点，在长期的实践中表明，它巳成为培养、提高青少年逻辑思维能力的好教材。历史上不知有多少科学家从学习几何中得到益处，从而作出了伟大的贡献。 （牛顿的例子） 少年时代的牛顿在剑桥大学附近的夜店里买了一本《几何原本》，开始他认为这本书的内容没有超出常识范围，因而并没有认真地去读它，而对笛卡儿的“坐标几何”很感兴趣而专心攻读。后来，牛顿于1664年4月在参加特列台奖学金考试的时候遭到落选，当时的考官巴罗博士对他说：“因为你的几何基础知识太贫乏，无论怎样用功也是不行的。”这席谈话对牛顿的震动很大。于是，牛顿又重新把《几何原本》从头到尾地反复进行了深入钻研，为以后的科学工作打下了坚实的数学基础。

3.几何图形在生活中的应用

1、摄影中的运用几何图形在摄影中的运用是和拍摄者的视角以及想法息息相关。

规则几何图案往往在图案形状、颜色及线条上明显重复，呈现某种规律变化的花纹效果。在现实场景中拍摄这样的几何素材时，可就依其像花纹的特性，让图样占满画面，制造无限延伸的感觉。

2、产品设计中的运用（几何图形-圆形）在建筑上，从建筑学的角度来说，圆形的建筑物更有利于减小风的阻力，从而减小了高楼风的形成的概率，即使形成高楼风，一般强度也要比普通建筑物小很多。另外，圆形建筑物的地基更稳固。

圆形在传热学上讲，更能节省能源，因为圆形是放热最少的形状，为什么保温杯通常都是圆形的就是这个道理，天气很冷的时候猫科动物比如猫和老虎都喜欢将自己的身体蜷缩起来也是这个道理。圆是轴对称图形，也是中心对称图形。

周长相同时，几何形中面积最大。在机械中，磨损最小，阻力最小而且美观，经济也很实用。

因此，由于圆的种种优点，它被广泛应用在生活的方方面面，例如，井盖、水杯、车轮、方向盘、帽子、电风扇、家具、电灯等等。3、创意家居中的运用（三角形）三角几何图形所具有的独特线条美感被广泛运用于家居领域。

4、传统编织中的应用英国设计师 Jo Elbourne 使用传统的编织工艺，探索看似简单但有无限可能的几何设计，手工编织出现代风格的编织凳子、家居用品与艺术装饰品。

通过不同色彩的对比，透过色彩与形式的碰撞，简单的编织制品变成现代风格的美丽家居用品，而风格鲜明的几何图案，更让编织制品变成美观的艺术摆设。



因为独特的创意与优秀的设计，并让古老技艺焕发新生，Jo Elbourne获得2017年度ELLE装饰设计奖（Elle Decoration British Design Award）。5、数学教学中的应用（动态几何图形）动态几何是在现近代数学思想的基础上发展起来的一种几何思想，它起源于上世纪80年代，最初的目的是利用相应的计算机软件代替圆规和直尺画直线、圆及其交点等几何图形。

正如苏联著名数学家A.H.柯尔莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化。”动态几何就是为这种“几何可视化”添上了动态的元素。

后来，伴随着计算机多媒体的出现和迅猛发展，再加上教育现代化的新要求，动态几何逐步成为影响二十一世纪几何教育的有力思路，它的应用在中学数学教学中也逐渐突显出了其不可小觑的价值。

4.几何基础的《几何基础》

虽然如此，但也有不少的数学家作出了贡献，当中希尔伯特所著的《几何基础》（Grundlagen der Geometrie）便是集大成之作。《几何基础》的第一版於1899年出版，后来经多次的修改，目前一般引用1930年出版的第七版。希尔伯特在这书中对欧几里得几何及有关几何的公理系统进行了深入的研究。他不仅对欧几里得几何提供了完善的公理体系，还给出证明一个公理对别的公理的独立性以及一个公理体系确实为完备的普遍原则。

他把几何进一步公理化，首先他叙述一些不加定义基本概念，设想有三组不同的东西，分别叫点、直线和平面，统称为「几何元素」，而它们之间的关系须满足一定的公理要求，则称这些几何元素的集合为「几何空间」。这样，不同的几何便是满足不同公理要求的几何元素的集合，亦因此把几何里那些与感性的感觉有关的东西去掉，只保留抽象的逻辑骨架，不但不会丧失现实的基础，反而扩大了几何命题的范围。

该书于1899年由莱比锡—斯图加特托布纳出版社出版。后来进行多次修改再版，于1930年出版第7版。作者去世以后，又出过第8、9、10版。俄译本1948年出版，格拉德斯坦译。中译本1958年出版，江泽涵等译。

本书共7章，中译本约20万字，内有5类公理（关联公理、次序公理、全合公理、平行公理、连续公理）；公理的相容性和互相独立性；比例论；平面中的面积论；德沙格定理；巴斯格尔定理；根据公理Ⅰ—Ⅳ的几何作图等7章内容。全书成功地建立了欧几里德几何的完整的公理体系（即希尔伯特公理体系），把几何的基本对象叫做点、直线、平面，然后用5组公理确定了基本几何对象的性质，并且逻辑地推出了欧几里德几何的所有定理，使欧几里德几何成为一个逻辑结构非常完善而严谨的几何体系。本书成功地建立了希尔伯特公理体系，不仅使欧几里德几何的完善工作告一段落，而且使数学公理法基本形成，促使20世纪整个数学有了较大的发展。

5.几何的几何基础

希尔伯7a64e58685e5aeb931333339666665特《几何基础》 人们对《几何原本》中在逻辑结果方面存在的一些漏洞、破绽的发现，正是推动几何学不断向前发展的契机。最后德国数学家希尔伯特在总结前人工作的基础上，在他1899年发表的《几何基础》一书中提出了一个比较完善的几何学的公理体系。这个公理体系就被叫做希尔伯特公理体。

希尔伯特不仅提出了—个完善的几何体系，并且还提出了建立一个公理系统的原则。就是在一个几何公理系统中，采取哪些公理，应该包含多少条公理，应当考虑如下三个方面的问题：

第一，共存性（和谐性），就是在一个公理系统中，各条公理应该是不矛盾的，它们和谐而共存在同一系统中。

第二，独立性，公理体系中的每条公理应该是各自独立而互不依附的，没有一条公理是可以从其它公理引伸出来的。

第三，完备性，公理体系中所包含的公理应该是足够能证明本学科的任何新命题。

这种用公理系统来定义几何学中的基本对象和它的关系的研究方法，成了数学中所谓的“公理化方法”，而把欧几里得在《几何原本》提出的体系叫做古典公理法。 公理化的方法给几何学的研究带来了一个新颖的观点，在公理法理论中，由于基本对象不予定义，因此就不必探究对象的直观形象是什么，只专门研究抽象的对象之间的关系、性质。从公理法的角度看，我们可以任意地用点、线、面代表具体的事物，只要这些具体事物之间满足公理中的结合关系、顺序关系、合同关系等，使这些关系满足公理系统中所规定的要求，这就构成了几何学。

因此，凡是符合公理系统的元素都能构成几何学，每一个几何学的直观形象不止只有—个，而是可能有无穷多个，每一种直观形象我们把它叫做几何学的解释，或者叫做某种几何学的模型。平常我们所熟悉的几何图形，在研究几何学的时候，并不是必须的，它不过是一种直观形象而已。

就此，几何学研究的对象更加广泛了，几何学的含义比欧几里得时代更为抽象。这些，都对近代几何学的发展带来了深远的影响。

6.学几何怎么入门

若说“代数符号是写下来的图形”，那么“几何图形就是画出来的公式”。

几何原意是“测地术”，相传起源于四千多年前的土地测量、面积计算、器皿制造、房屋建筑、天文历算等实践活动的需要。公元前三百年左右，古希腊数学家欧基里德总结和整理了前人和当时的几何知识，写成了巨著《几何原本》，后又经二千多年的发展，才形成了当今的结构严密的科学体系，成为了数学中的一个重要分支。

几何是训练学生的逻辑思维和空间想象能力最有效的学科之一。在小学阶段就开始设立几何的初步知识 ---几何图形的认识，可称实验几何，即主要通过对一些简单图形性质的认识，进而进行面积和体积的计算；初中几何是推理几何，是在学习知识的同时，侧重发展学生的逻辑分析能力、学习论证的方法，使其逐步具备可持续发展的能力。

初中几何时期，历来被称为：几何的入门阶段，这一时期学习的好坏，直接影响着今后的学习，下面就如何学好初中几何，谈谈自己的看法。 （一）在学习几何的起始阶段，我们主要是引导学生自己动手实验、操作，在观察和实验的活动中，培养对几何这门学科的学习兴趣，掌握几何知识的来龙去脉，学到思考规律的方法，并从中感受到发现的欢乐，在不断的、多次的实践中促进思维能力的提高。

例如：女儿圆圆生日时，爸爸给她买了一个圆柱形的生日蛋糕，圆圆想把蛋糕切成大小不一定相等的若干块（不少于 10块），分给10个小朋友，若规定只能沿着竖直方向切分这块蛋糕，则至少需要切几刀？ （“希望杯”邀请赛试题） 这本来是一个：在圆内画两个端点在圆周上的线段，这些线段可以把圆分成若干个部分。当至少画几条线段时，才能把圆分成不少于 10部分。

而今却以学生感兴趣的问题出现，大大降低了学生的压力，使之在轻松愉快的动手操作中完成问题的解答（切法如图所示）。 再比如：图中有一个正方体的纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形、圆，现用一把剪刀，沿着它的棱剪成一个平面图形，则展开图应当是下面的（） 分析：（这是九年义务教育冀教版七年级上册的几何图形的展开图）展开与折叠是两个步骤相反的过程，只需验证展开图能否折成符合要求的正方体的前、后、左、右、上、下六个面即可。

在这个过程中，学生通过动手操作很容易发现结果，另外，由于展开方式的多种多样，使学生们从中感受图形世界的丰富多彩，进而调动学生的学习积极性。 “实践出真知”，在几何初期的教学活动中，学生的动手操作水平的高低，直接影响到他们后期对数学的学习兴趣、热情、进而影响到他们的学习成绩。

因此，培养学生的能手操作能力，是教学工作的重点。 （二）引导学生充分利用图形直观性的特点，培养其仔细观察、勤于动手的习惯，并使其通过对图形的结构分析，提高其抽象概括能力。

在河北省一次竞赛中，出现了下面一题： 例 3：棱长为a的正方体，摆放面如图所示的形状： 如果这一物体摆放一层，那么这物体的表面积是多少？ 如果这一物体摆放二层，那么这物体的表面积是多少？ 如果这一物体摆放三层，那么这物体的表面积是多少？ 依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下 20层，那么该物体的表面积是多少？ 分析：事先要求学生做成了一个可以拆装的如图所示的几何体，当只有一层时，从前、后、左、右、上、下六个方向直视该几何体，可以得到这个几何体的平面图形（每个方向一个正方形）；当有两层时，再从前、后、左、右、上、下六个方向直视该几何体，又可以得到这个几何体平面图形（每个方向两个正方形）；当有三层时，再从前、后、左、右、上、下六个方向直视该几何体，又可以得到这个几何体平面图形（每个方向三个正方形）；……当有 n层时，再从前、后、左、右、上、下六个方向直视该几何体，又可以得到这个几何体平面图形（每个方向n个正方形），将结果填入下表： 几何图形的层数 从各个方向看几何体得到的正方形的个数 几何体的表面积 1 1 6a 2 2 3 3*6a 2 =18a 2 3 6 6*6a 2 =36a 2 4 10 10*6a 2 =60a 2 …… …… …… 20 210 210*6a 2 =1260a 2 …… …… …… n *6a 2 =3n(n+1)a 2 通过观察上表中的数据，使学生很容易想到以前学过的知识，总结出从各个方向看到的正方形的个数，与摆放层数 n之间存在的关系： ，故其看到的几何体的表面积应该为 *6a 2 ，化简为3n(n+1)a 2 。 三、养成教育。

即在平时的学习生活中，引导学生养成努力学习，勇于克服困难的决心。学习的最基本目的是为了解决生活实际问题，在教学时，要时刻体现学习为生活的目的，使学生清楚知道自己在干什么，为什么要这样做，从而激发其内在的学习紧迫感。

比如近年来的下列问题： 1、为了加强公民的节水和用水意识，合理利用水资源，采用价格调控等手段达到节约用水的目的，我市规定如下的用水收费标准：每户每月的用水不超过6立方米时，水费按每立方米a元收费；超过6立方米时，不超过部分每立方米仍按a元收费，超过部分每立方米按c元收费. 我市某户今年 3、4月份的用水量和水费如下表： 月份 用水量 （ ） 水费（元） 3 5 7.5 4 9 27 设某户每月用水量为 x。

7.初中几何的知识有哪些

几何十大公理

1.过两点有且只有一条直线.

2.两点之间，线段最短.

3.垂线段最短.

4.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

5.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.（平行公理）

6.同位角相等，两直线平行.

7.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.（SAS）

8.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.（ASA）

9.三边对应相等的两个三角形全等.（SSS）

10.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.（HL）

《圆》这一章的结论，都是定理、定义或推论，没有公理

我觉得编教材的时候谁是公理并不重要，重要的是让初中生体会这种从基本事实出发进行推理演绎的妙用，学会逻辑推理的基本方法.

其实全等三角形的判定根本不是公理，但是连欧几里德的几何体系也难免有不完善之处.

所以作为初中教材，基本原则应该是避繁就间，条理清晰.

将一些不易证的结论归为公理，可以使学生抓住主要问题，忽略次要问题.

待掌握了一定的知识和能力再去追究完善的公理体系也并不晚.

教材的编著者这样做，不能不说是花了心思的.

几何学是建立在公理基础上通过推理演绎而成的.因而扎实地掌握公理对学习几何作用极大.现总结了10条初中教材所提及的无需证明的最基本结论作为公理.