1.函数图像的平移变换与对称变换 规律

假设函数y=f(x)

左加右减：左加意思是，左移n个单位就用x+n替换其中的x；右减的意思是用x-n替换其中的x。

上加下减：上加意思是，上移n个单位，就将函数整体+n，即等式右端+n（其实上下平移是针对y的变动，比如y=0是x轴，y-n=0就是x轴上移n个单位，变形后就是y=0+n，上加就是这么来的）

关于x对称：横坐标不变、纵坐标相反，就已-y替换y，也就是y1=-f(x)

关于y对称：横坐标相反、纵坐标不变，就是用-x替换x，也就是y2=f(-x)

关于直线y=x对称，这个就是求反函数的过程，由y=f(x)，求出x=？，然后x、y一交换就行了

2.二次函数中图像与系数的关系,图像的性质以及图像的平移

二次函数

I.定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式

一般式：y=ax^2;+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)

顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P(h,k)]

交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：

h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a

III.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，

可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P，坐标为

P [ -b/2a ,(4ac-b^2;)/4a ]。

当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，抛物线向上开口；当a|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0,c）

6.抛物线与x轴交点个数

Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b^2-4acV.二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2;+bx+c,

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），

即ax^2;+bx+c=0

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

答案补充

画抛物线y=ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。

二次函数解析式的几种形式

(1)一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).

(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).

(3)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a≠0.

说明：（1）任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是（h,k）,h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上；当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点

答案补充

如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax^2+k

3.函数图像的变换的知识点`急

函数变换是个难点，但只要你自己好好推导一次，认真体会过程就行了.

一、先说对称变化，关于直线对称.设函数Y=f(x)，求它关于y=kx+b对称的函数表达式.设P(x,y)是所求函数上任意一点，刚P关于直线的对称点P1(x1,y1)在原函数Y=f(x)上.我这里不计算了，只说方法吧.P与P1的中点在直线上，这是一个方程；PP1的斜率与对称轴直线斜率之积为-1，这是第二个方程。分别用x,y的代数式表示x1,y1，把x1,y1代入已知原函数表达式，解出来x,y就行了。因为具体题算数时比这个好算，再说在这打字还行打字符就不好玩。

这是通法，适用于所有函数对任意直线。

当然，函数特殊时，特别是直线特殊时，也不用这方法了。

比如关于X轴对称，就把原表达式里的Y换成-Y，化简就行了。关于Y轴对称，就把原表达式里的X换成-X，化简就行了。关于Y=X直线对称，就是把X换成Y，把Y换成X就行。这个也好记吧，你要是记不住，自己画个图体会一下，可以用一个点记。设P(a,b)点，关于X轴对称点为（a,-b），关于Y轴对称点为（-a,b），关于Y=X直线对称点为（b,a）。

二、关于点成中心对称。

这与一类似，也是设P(x,y)为所求函数上任意一点，对应的P1(x1,y1)点在原函数上。因为对称中心，所以，用中点坐标公式，就建立起x与x1,y与y1的代数关系了。解出x1,y1，代入已知函数表达式，化简就行了。

三、平移

函数，y=f(x)，你记住“加左减右，上加下减”这一句就行了。

比如，把y=f(x)向左平移2个单位，就变成了y=f(x+2).

把y=f(x)向下平移3个单位，就变成了y=f(x)-3.

要看好，加在了哪里。左右平移时，是加在了x跟前，上下平移时，是加在原来的y上了。

再比如，函数y=f(x)，做一个向量（-5,2）的平移，分析向量，是向左平移5个单位，向上平移2个单位，所以函数变成了y=f(x+5)+2.

很长，你看吧。主要是你出的题目比较大，下次最好就事论事，别再这样难为别人了。

4.图形的平移、旋转、对称和图形的放大与缩小的概念

旋转的角度叫做旋转角。

—————————————— 【旋转】 ①在平面内；360度） ———————————————— 【图形的放大与缩小的概念 】 按比例进行放大缩小。 ②平移不改变图形的形状和大小。

—————————————— 【对称】 有三种，这种图形叫做旋转对称图形，或中垂线，其中对应点到旋转中心的距离相等，那么就说这两个图形成中心对称，对应点所连接的线段平行且相等。 ②图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，那么这个图形叫做中心对称图形，转动的角度叫做旋转角。

它是等距同构； 旋转角<，旋转前后图形的大小和形状没有改变，旋转后的图形能和原图形完全重合，如果把一个图形绕某一点旋转180度.（旋转角 0度<。 而这个中心点、大小和方向（平移前后的两个图形是全等形）、旋转对称图形。

③在平面内、中心对称图形 ①如果一个图形绕某一点旋转180度。这个点叫做对称中心。

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，这样的图形运动叫做图形的平移运动： 一，对应线段平行（或共线）且相等，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 三！ ②垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线。这个定点叫做旋转中心，这个定点叫做旋转对称中心，对应角相等。

③在轴对称图形中，简称平移，与初始图形重合、①对称轴是一条直线：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，对应线段的长度。 ④轴对称的图形是全等的 ⑤如果两个图形关于某条直线对称。

②中心对称图形上每一对对称点所连成的线段都被对称中心平分，旋转后的图形能和另一个图形完全重合，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度， ③经过平移、对应角的大小相等，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等； ④平移变换不改变图形的形状。 二【平移（translation）】 是指在平面内，叫做中心对称点，这样的运动叫做图形的旋转，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同 ================== 【详细】①距离的移动。

5.已知真命题：“函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形”的充要

(1)将函数g(x)=x3-3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，平移后图象对应的函数解析式为y=(x+1)3-3(x+1)2+2=x3-3x，由于函数y=x3-3x是奇函数，由题设真命题知，函数g(x)图象对称中心的坐标是（1,-2）.(2)设函数h(x)=log22x4−x图象对称中心为P(a,b)，由题设知函数f(x)=h(x+a)-b是奇函数.则f(x)=log22(x+a)4−（x+a）−b.由不等式2(x+a)4−（x+a）>0的解集关于原点对称，得a=2.此时f(x)=log22(x+2)2−x−b,x∈（-2,2）.任取x∈（-2,2），由f(-x)+f(x)=0，得b=1，所以函数函数h(x)=log22x4−x图象对称中心为P(2,1)。