1.高二数学 椭圆 知识点

一、课标要求1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质；4.了解圆锥曲线的简单应用；5.理解数形结合的思想二、考点回顾1——椭圆：1.利用待定系数法求标准方程：（1）求椭圆标准方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法（先定性、后定型、再定参）。

椭圆的标准方程有两种形式，所谓“标准”，就是椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦点F1、F2的位置决定椭圆标准方程的类型，是椭圆的定位条件；参数a、b 决定椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件。对于方程x^2/m+y^2/n=1 ,m>0,n>0若m>n ，则椭圆的焦点在x轴上；若m

焦点位置不明确时，要注意分类讨论。（2）当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为x^2/m+y^2/n=1 ,m>0,n>0 ，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设Ax^2+By^2=1(A>0,B>0) ，这种形式在解题中更简便。

2.椭圆定义的应用：平面内一动点与两个定点F1 、F2 的距离之和等于常数2a ，当2a >|F1F2 |时，动点的轨迹是椭圆；当 2a=|F1F2 |时，动点的轨迹是线段F1F2 ；当 2a<|F1F2 |时，轨迹为存在。3.椭圆的几何性质：（1）设椭圆的方程x^2/a^2+y^2/b^2=1 上任意一点为P ，则OP^2=x^2+y^2 ，当x=-a,a时有最大值 ，这时P在长轴端点A1或A2处。

（2）椭圆上任意一点P 与两焦点F1F2 ， 构成三角形 称之为焦点三角形，周长为2a+2c 。(3)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形的边长，有a^2=b^2+c^2 。

4.直线与椭圆的相交问题在解决有关椭圆的问题时，要先画出图形，解题时重视方程的几何意义和图形的辅助作用，将对几何图形的研究转化为对代数式的研究，同时又要理解代数问题的几何意义。数形结合的思想方法是解析几何中基本的思想方法。

解析几何的本质是用代数研究几何，如求轨迹方程、范围问题等，几乎都与函数有关，实质即将几何条件（性质）表示为动点坐标（x,y） 的方程或函数关系。因此，自觉地运用函数方程的观点是解此类问题的关键。

2.高中椭圆定理总结大全

高中椭圆定理总结：

抛物线：y = ax *+ bx + c

就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c

a >0时开口向上

a c = 0时抛物线经过原点

b = 0时抛物线对称轴为y轴

还有顶点式y = a(x+h)* + k

就是y等于a乘以（x+h）的平方+k

-h是顶点坐标的x

k是顶点坐标的y

一般用于求最大值与最小值

抛物线标准方程：y^2=2px

它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为（p/2,0） 准线方程为x=-p/2

由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py

圆：体积=4/3(pi)(r^3)

面积=（pi）(r^2)

周长=2(pi)r

圆的标准方程 （x-a）2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标

圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0

（一）椭圆周长计算公式

椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)

椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。

（二）椭圆面积计算公式

椭圆面积公式： S=πab

椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。

以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。

椭圆形物体 体积计算公式椭圆 的 长半径*短半径*PAI*高

3.归纳一下高中数学选修1

椭圆知识点 知识要点小结：知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点 到两个定点 、的距离62616964757a686964616fe58685e5aeb931333264663161之和等于常数 ，这个动点 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若 ，则动点 的轨迹为线段 ； 若 ，则动点 的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程 1.当焦点在 轴上时，椭圆的标准方程： ，其中 2.当焦点在 轴上时，椭圆的标准方程： ，其中 ；注意：1.只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程； 2.在椭圆的两种标准方程中，都有 和 ； 3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在 轴上时，椭圆的焦点坐标为 ， ；当焦点在 轴上时，椭圆的焦点坐标为 ， 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆： 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程 ：说明：把 换成 、或把 换成 、或把 、同时换成 、、原方程都不变，所以椭圆 是以 轴、轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线 和 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足 ， 。（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 ， ， ， ③线段 ， 分别叫做椭圆的长轴和短轴， ， 。 和 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

（4）离心率： ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用 表示，记作 。 ②因为 ，所以 的取值范围是 。

越接近1，则 就越接近 ，从而 越小，因此椭圆越扁；反之， 越接近于0， 就越接近0，从而 越接近于 ，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当 时， ，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为 。

注意： 椭圆 的图像中线段的几何特征（如下图）：（1） ; ; ; (2) ; ; ; (3) ； ； ；知识点四：椭圆 与 的区别和联系 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于 轴、轴和原点对称 顶点 ， ， 轴长 长轴长= ，短轴长= 离心率 准线方程 焦半径 ， ， 注意：椭圆 ， 的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有 和 ， ；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。规律方法： 1.如何确定椭圆的标准方程？ 任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。

当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。

确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件 ；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。 2.椭圆标准方程中的三个量 的几何意义 椭圆标准方程中， 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。

分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为： ， ，且 。可借助右图理解记忆： 显然： 恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。

3.如何由椭圆标准方程判断焦点位置 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看 ， 的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 4.方程 是表示椭圆的条件 方程 可化为 ，即 ，所以只有A、B、C同号，且A B时，方程表示椭圆。

当 时，椭圆的焦点在 轴上；当 时，椭圆的焦点在 轴上。5.求椭圆标准方程的常用方法： ①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数 的值。

其主要步骤是“先定型，再定量”； ②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6.共焦点的椭圆标准方程形式上的差异 共焦点，则c相同。

与椭圆 共焦点的椭圆方程可设为 ，此类问题常用待定系数法求解。7.判断曲线关于 轴、轴、原点对称的依据： ① 若把曲线方程中的 换成 ，方程不变，则曲线关于 轴对称；② 若把曲线方程中的 换成 ，方程不变，则曲线关于 轴对称；③ 若把曲线方程中的 、同时换成 、，方程不变，则曲线关于原点对称。

8.如何求解与焦点三角形△PF1F2(P为椭圆上的点)有关的计算问题？ 思路分析：与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式 相结合的方法进行计算解题。将有关线段 ，有关角 （ ）结合起来，建立 、之间的关系. 9.如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？ 长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。

离心率 ，因为 ， ，用 表示为 。显然：当 越小时， 越大，椭圆形状越扁；当 越大， 越小，椭圆形状越趋近于圆。

4.高中椭圆的所有公式

原发布者：sf19801122

椭圆的标准方程 高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。 椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴： F点在X轴 1）焦点在X轴时，标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0) 2）焦点在Y轴时，标准方程为：y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0) 其中a>0,b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴）当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^2)^0.5，焦距与长.短半轴的关系：b^2=a^2-c^2，准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c,c为椭圆的半焦距。 又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx^2+ny^2=1(m>0,n>0,m≠n)。即 F点在Y轴标准方程的统一形式。 椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ，y=bsinθ 标准形式的椭圆在（x0,y0）点的切线就是：xx0/a^2+yy0/b^2=1椭圆的一般方程 Ax^2+By^2=C(A>0,B>0，且A≠B)。椭圆的参数方程 x=acosθ，y=bsinθ。椭圆的极坐标方程 （一个焦点在极坐标系原点，另一个在θ=0的正方向上） r=a(1-e^2)/(1-ecosθ) （e为椭圆的离心率）

5.高二数学椭圆,抛物线,双曲线整理和总结

圆锥曲线知识点全面覆盖练习1.(1)已知两个定点 ， ，且 =10，则点 的轨迹方程是 .（2） 已知两个定点 ， ，且 =8， 则点 的轨迹方程是 .（3） 已知两个定点 ， ，且 =6， 则点 的轨迹方程是 .2.两焦点分别为 ， ，且经过点 的椭圆方程是 .3.若椭圆 上一点P到焦点 的距离等于6，则点P到另一个焦点 的距离是 4. ABC的两个顶点A,B的坐标分别是 ， ，边AC,BC所在直线的斜率之积等于 ，则顶点C的轨迹方程是 .5.点P是椭圆 上一点，以点P以及焦点 ， 为顶点的三角形的面积等于1， 则点P的坐标是 .6.椭圆 的长轴与半短轴的和等于 ， 离心率等于 ， 焦点的坐标是 ，顶点的坐标是 ，准线方程是 ，左焦点到右准线的距离等于 .7.椭圆 上一点P到左焦点的距离等于3，则点P到左准线的距离是 ，则点P到右准线的距离是 .8.(1) 已知两个定点 ， ，动点P到 的距离的差的绝对值等于6，则点P的轨迹方程是 ；（2） 已知两个定点 ， ，动点P到 的距离的差的绝对值等于8， 则点P的轨迹方程是 ；（3） 已知两个定点 ， ，动点P到 的距离的差的绝对值等于10， 则点P的轨迹方程是 ；9已知曲线C的方程是 ， （1）若曲线C是圆，则 的取值范围是 ； （2）若曲线C是椭圆， 则 的取值范围是 ； （3）若曲线C是双曲线， 则 的取值范围是 .10椭圆 与双曲线 有相同的焦点，则 的取值范围是 .11 ABC的两个顶点A,B的坐标分别是 ， ，边AC,BC所在直线的斜率之积等于 ，则顶点C的轨迹方程是 .12双曲线 的实轴长与虚半轴长的和等于 ， 离心率等于 ， 焦点的坐标是 ，顶点的坐标是 ， 准线方程是 ，渐近线的方程 ，两渐近线的夹角等于 ，右支上一点P到左焦点的距离等于10，则它到右准线的距离等于 . 点P到两渐近线的距离的和等于 .13与椭圆 有相同的焦点，且离心率为 的双曲线的方程是 .14点M与点F 的距离比它到直线： 的距离小1，则点 的轨迹方程是 .15抛物线 的焦点的坐标是 ， 准线方程是 .16设直线 经过抛物线 的焦点，与抛物线相交于A ,B 两点， （1） = ;(2) = ;(3)若直线 的斜率为1，则 = ； （4） = .17抛物线 上与焦点的距离等于9的点的坐标是 .18正 OAB的三个顶点均在抛物线 上，O为原点，则 OAB的面积等于 .19方程 的两个根可分别作为（ ）A，一椭圆和一双曲线的离心率 B，两抛物线的离心率C，一椭圆和一抛物线离心率 D，两椭圆的离心率20设 椭圆 的两个焦点，点P在椭圆上，且 . （1） 的面积等于 ， （2） 点P的坐标是 .21直线 与椭圆 相交于A,B两点，则 = .22已双曲线的离心率为2，则它的两条渐近线所成的锐角等于 .23如果直线 与双曲线 没有公共点，则 的取值范围是 .24过抛物线 的焦点F的直线与抛物线相交于A,B两点，自A,B向准线作垂线， 垂足分别为 ，则 = .25一动圆与圆 外切，同时与圆 内切，求动圆圆心的轨迹方程.。

6.求数学椭圆,双曲线,抛物线所有性质的总结

椭圆的面积公式 S=π（圆周率）*a*b（其中a,b分别是椭圆的长半轴，短半轴的长）. 或S=π（圆周率）*A*B/4（其中A,B分别是椭圆的长轴，短轴的长）.椭圆的周长公式 椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。

椭圆周长（L）的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如 L = ∫[0，π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)²）dt≈2π√（（a²+b²）/2） [椭圆近似周长]，其中a为椭圆长半轴，e为离心率 椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，则 e=PF/PL椭圆的准线方程 x=±a^2/c椭圆的离心率公式 e=c/a(02c。

离心率越大，椭圆越扁平；离心率越小，椭圆越接近于圆形。 椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线（如焦点（c,0）与准线x=+a^2/c） 的距离为b^2/c椭圆焦半径公式 焦点在x轴上：|PF1|=a+ex |PF2|=a-ex(F1,F2分别为左右焦点) 椭圆过右焦点的半径r=a-ex 过左焦点的半径r=a+ex 焦点在y轴上：|PF1|=a-ey |PF2|=a+ey(F1,F2分别为上下焦点) 椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两交点A,B之间的距离，数值=2b^2/a点与椭圆位置关系 点M(x0,y0) 椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1 点在圆内：x0^2/a^2+y0^2/b^2<1 点在圆上：x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 点在圆外：x0^2/a^2+y0^2/b^2>1直线与椭圆位置关系 y=kx+m ① x^2/a^2+y^2/b^2=1 ② 由①②可推出x^2/a^2+(kx+m)^2/b^2=1 相切△=0 相离△<0无交点 相交△>0 可利用弦长公式：A(x1,y1) B(x2,y2) |AB|=d = √（1+k^2）|x1-x2| = √（1+k^2）(x1-x2)^2 = √（1+1/k^2）|y1-y2| = √（1+1/k^2）(y1-y2)^2椭圆的斜率公式 过椭圆上x^2/a^2+y^2/b^2=1上一点（x,y）的切线斜率为 -（b^2）X/(a^2)y 椭圆焦点三角形面积公式 若∠F1PF2=θ，则S=b^2tan（θ/2）编辑本段椭圆参数方程的应用 求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时，用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解 x=a*cosβ， y=b*sinβ a为长轴长的一半 相关性质 由于平面截圆锥（或圆柱）得到的图形有可能是椭圆，所以它属于一种圆锥截线。

例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）： 将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。 设两点为F1、F2 对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2 则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2 由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点 用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆 例：已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√6/3，短轴一个端点到右焦点的距离为√3. 1.求椭圆C的方程. 2.直线l:y=x+1与椭圆交于A,B两点，P为椭圆上一点，求△PAB面积的最大值. 3.在（2）的基础上求△AOB的面积. 一 分析短轴的端点到左右焦点的距离和为2a，端点到左右焦点的距离相等（椭圆的定义），可知a=√3，又c/a=√6/3，代入得c=√2,b=√（a^2-c^2）=1，方程是x^2/3+y^2/1=1， 二 要求面积，显然以ab作为三角形的底边，联立x^2/3+y^2/1=1,y=x+1解得x1=0,y1=1,x2=-1.5,y2=-0.5.利用弦长公式有√（1+k^2）)[x2-x1]（中括号表示绝对值）弦长=3√2/2，对于p点面积最大，它到弦的距离应最大，假设已经找到p到弦的距离最大，过p做弦的平行线，可以 发现这个平行线是椭圆的切线是才会最大，这个切线和弦平行故斜率和弦的斜率=，设y=x+m，利用判别式等于0，求得m=2,-2.结合图形得m=-2.x=1.5,y=-0.5,p(1.5,-0.5)， 三 直线方程x-y+1=0，利用点到直线的距离公式求的√2/2，面积1/2*√2/2*3√2/2=3/4， 双曲线定义：我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于一个常数的轨迹称为双曲线 。

定义1： 平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于这两个定点间的距离[1]）的点的轨迹称为双曲线。 定义2：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为大于1的常数的点的轨迹称为双曲线。

定义3：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。 定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。

1.a、b、c不都是零. 2. b^2 - 4ac > 0. 在高中的解析几何中，学到的是双曲线的中心在原点，图像关于x,y轴对称的情形。这时双曲线的方程退化为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1. 上述的四个定义是等价的。

双曲线的简单几何性质 1、轨迹上一点的取值范围：│x│≥a（焦点在x轴上）或者│y│≥a（焦点在y轴上）。 2、对称性：关于坐标轴和原点对称。

3、顶点：A(-a,0), A'(a,0)。同时 AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a. B(0,-b), B'(0,b)。

同时 BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b. 4、渐近线： 焦点在x轴：y=±（b/a）x. 焦点在y轴：y=±（a/b）x. 圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时，表示双曲线。其中p为焦点到准线距离，θ为弦与x轴夹角。

令1-e。