1.【求一下平面向量知识点,】

平面向量知识点汇总基本知识回顾：1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量，有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示-----（几何表示法）；②用字母、等表示（字母表示法）；③平面向量的坐标表示（坐标表示法）：分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得，叫做向量的（直角）坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 特别地，.；若，则，3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为； ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：就是单位向量）4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定与任一向量平行.向量、、平行，记作∥∥.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.性质：是唯一） （其中 ） 5.相等向量和垂直向量：①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.②垂直向量——两向量的夹角为性质： （其中 ）6.向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法.向量加法的三角形法则和平行四边形法则.平行四边形法则： （起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形）三角形法则 ——加法法则的推广： ……即个向量……首尾相连成一个封闭图形，则有……②向量的减法向量加上的相反向量，叫做与的差.即： -= + （-）；差向量的意义： = ， =， 则=- ③平面向量的坐标运算：若，则，.④向量加法的交换律：+=+；向量加法的结合律：（+） +=+ （+）⑤常用结论：（1）若，则D是AB的中点（2）或G是△ABC的重心，则7.向量的模：1、定义：向量的大小，记为 || 或 ||2、模的求法：若 ，则 ||若， 则 ||3、性质：（1）； （实数与向量的转化关系）（2），反之不然（3）三角不等式：（4） （当且仅当共线时取“=”）即当同向时 ，； 即当同反向时 ，（5）平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，即8.实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ（1）|λ|=|λ。

；（2）λ>0时λ与方向相同；λ0；当与异向时，λ。

2.平面向量的基础知识（具体点）

亲爱的楼主：相关概念有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作或AB；向量的模：有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|；零向量：长度等于0的向量叫做零向量，记作或0。

（注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的，书写时要在实数“0”上加箭头，以免混淆）；相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量；平行向量（共线向量）：两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，零向量与任意向量平行，即0//a；单位向量：模等于1个单位长度的向量叫做单位向量，通常用e表示，平行于坐标轴的单位向量习惯上分别用i、j表示。相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-（-a）=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

[1]3表示方法几何表示具有方向的线段叫做有向线段，我们以A为起点、B为终点的有向线段记作，则向量可以相应地记作。但是，区别于有向线段，在一般的数学研究中，向量是可以平移的。

[2]坐标表示在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得： 向量的坐标表示a=xi+yj，我们把（x,y）叫做向量a的（直角）坐标，记作：a=(x,y)。

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。

根据定义，任取平面上两点A(x1,y1),B(x2,y2)，则向量AB=(x2-x1,y2-y1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标加法向量加法的三角形法则已知向量AB、BC，再作向量AC，则向量AC叫做AB、BC的和，记作AB+BC，即有：AB+BC=AC。用坐标表示时，显然有：AB+BC=(x2-x1,y2-y1)+(x3-x2,y3-y2)=(x2-x1+x3-x2,y2-y1+y3-y2)=(x3-x1,y3-y1)=AC。

这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差三角形法则：AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则，简记为：首尾相连、连接首尾、指向终点。四边形法则：已知两个从同一点A出发的两个向量AC、AB，以AC、AB为邻边作平行四边形ACDB，则以A为起点的对角线AD就是向量 向量加法的四边形法则AC、AB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则，简记为：共起点 对角连。

对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。向量的加法满足所有的加法运算定律，如：交换律、结合律。

减法AB-AC=CB，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则，简记为：共起点、连终点、方向指向被减向量。-（-a）=a;a+(-a)=(-a)+a=0;a-b=a+(-b)。

[2]数乘实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa。当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，当λ<0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa=0。

用坐标表示的情况下有：λAB=λ（x2-x1,y2-y1）=（λx2-λx1，λy2-λy1）设λ、μ是实数，那么满足如下运算性质：（λμ）a= λ（μa）（λ + μ）a= λa+ μaλ（a±b） = λa± λb（-λ）a=-（λa） = λ（-a）|λa|=|λ||a|[2]数量积已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b的数量积或内积，记作a·b。零向量与任意向量的数量积为0。

数量积a·b的几何意义是：a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2数量积具有以下性质：a·a=|a|2≥0a·b=b·ak(a·b)=(ka)b=a(kb)a·（b+c）=a·b+a·ca·b=0<=>a⊥ba=kb<=>a//be1·e2=|e1||e2|cosθ[2]向量积向量a与向量b的夹角：已知两个非零向量，过O点做向量OA=a，向量OB=b， 向量积示意图则∠AOB=θ 叫做向量a与b的夹角，记作。已知两个非零向量a、b，那么a*b叫做a与b的向量积或外积。

向量积几何意义是以a和b为边的平行四边形面积，即S=|a*b|。若a、b不共线，a*b是一个向量，其模是|a*b|=|a||b|sin,a*b的方向为垂直于a和b，且a、b和a*b按次序构成右手系。

若a、b共线，则a*b=0。若a=(x1,y1,0),b=(x2,y2,0)，则有：向量积具有如下性质：a*a=0a‖b<=>a*b=0a*b=-b*a（λa）*b=λ（a*b）=a*（λb）(a+b)*c=a*c+b*c[3]混合积给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a*b，再和向量c作数量积（a*b）·c，所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作（a,b,c）或（abc），即（abc）=(a,b,c)=(a*b)·c混合积具有下列性质：三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即（abc）=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1）上条性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是（abc）=0(abc) = (bca) = (cab) = - (bac) = - (cba) = - (acb)[祝您步步高升期望你的采纳，谢谢。

3.求平面向量的基本知识总结~找高手·

平面向量1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A(1,2),B(4,2)，则把向量 按向量 =（-1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0）)(2)零向量：长度为0的向量叫零向量，记作： ，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与 共线的单位向量是 ）；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 、叫做平行向量，记作： ‖ ，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线， 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有 ）；④三点 共线 共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 的相反向量是- 。

如下列命题：（1）若 ，则 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（3）若 ，则 是平行四边形。（4）若 是平行四边形，则 。

（5）若 ，则 。（6）若 ，则 。

其中正确的是_______（答：（4）(5))2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 ， ， 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 轴、轴方向相同的两个单位向量 ， 为基底，则平面内的任一向量 可表示为 ，称 为向量 的坐标， = 叫做向量 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数 、，使a= e1+ e2。如（1）若 ，则 ______（答： ）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. B. C. D. （答：B）;(3)已知 分别是 的边 上的中线，且 ，则 可用向量 表示为_____（答： ）；（4）已知 中，点 在 边上，且 ， ，则 的值是___（答：0）4、实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度和方向规定如下： 当 >0时， 的方向与 的方向相同，当 <0时， 的方向与 的方向相反，当 =0时， ，注意： ≠0。

5、平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量 ， ，作 ， 称为向量 ， 的夹角，当 =0时， ， 同向，当 = 时， ， 反向，当 = 时， ， 垂直。（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量 ， ，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做 与 的数量积（或内积或点积），记作： ，即 = 。

规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如（1）△ABC中， ， ， ，则 _________（答：-9）;(2)已知 ， 与 的夹角为 ，则 等于____（答：1）;(3)已知 ，则 等于____（答： ）；（4）已知 是两个非零向量，且 ，则 的夹角为____（答： ）（3） 在 上的投影为 ，它是一个实数，但不一定大于0。

如已知 ， ，且 ，则向量 在向量 上的投影为______（答： ）（4） 的几何意义：数量积 等于 的模 与 在 上的投影的积。（5）向量数量积的性质：设两个非零向量 ， ，其夹角为 ，则：① ；②当 ， 同向时， = ，特别地， ；当 与 反向时， =- ；当 为锐角时， >0，且 不同向， 是 为锐角的必要非充分条件；当 为钝角时， ③非零向量 ， 夹角 的计算公式： ；④ 。

如（1）已知 ， ，如果 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是______（答： 或 且 ）；（2）已知 的面积为 ，且 ，若 ，则 夹角 的取值范围是_________（答： ）；（3）已知 与 之间有关系式 ，①用 表示 ；②求 的最小值，并求此时 与 的夹角 的大小（答：① ；②最小值为 ， ）6、向量的运算：（1）几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设 ，那么向量 叫做 与 的和，即 ；②向量的减法：用“三角形法则”：设 ，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。

如（1）化简：① ___；② ____；③ _____（答：① ；② ；③ ）；（2）若正方形 的边长为1， ，则 =_____（答： ）；（3）若O是 所在平面内一点，且满足 ，则 的形状为____（答：直角三角形）；（4）若 为 的边 的中点， 所在平面内有一点 ，满足 ，设 ，则 的值为___（答：2）;(5)若点 是 的外心，且 ，则 的内角 为____（答： ）；（2）坐标运算：设 ，则：①向量的加减法运算： ， 。如（1）已知点 ， ，若 ，则当 =____时，点P在第一、三象限的角平分线上（答： ）；（2）已知 ， ，则 （答： 或 ）；（3）已知作用在点 的三个力 ，则合力 的终点坐标是 （答：（9,1））②实数与向量的积： 。

③若 ，则 ，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如设 ，且 ， ，则C、D的坐标分别是__________（答： ）；④平面。

4.数学必修四向量的所有公式 总结一下 谢谢

1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则. AB+BC=AC. a+b=(x+x',y+y'). a+0=0+a=a. 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：（a+b）+c=a+(b+c). 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且|λa|=|λ|•|a|. 当λ>0时，λa与a同方向； 当λ当λ=0时，λa=0，方向任意. 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0. 注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0. 实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩. 当|λ|>1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ当|λ|0）或反方向（λ数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：（λa）•b=λ（a•b）=(a•λb). 向量对于数的分配律（第一分配律）：（λ+μ）a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ（a+b）=λa+λb. 数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ. 3、向量的数量积 定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b，则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作并规定0≤≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b.若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos；若a、b共线，则a•b=+-|a||b|. 向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'. 向量的数量积的运算律 a•b=b•a（交换律）； （λa）•b=λ（a•b）（关于数乘法的结合律）； （a+b）•c=a•c+b•c（分配律）； 向量的数量积的性质 a•a=|a|的平方. a⊥b a•b=0. |a•b|≤|a|•|b|. 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律，即：（a•b）•c≠a•（b•c）；例如：（a•b）^2≠a^2•b^2. 2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a•b=a•c (a≠0)，推不出 b=c. 3、|a•b|≠|a|•|b| 4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b.。

5.高中向量知识梳理

一、平面向量 定义：既有大小又有方向的量叫向量。

例：力、速度、加速度、冲量等 注意：1（数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 2（从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。

向量的定义以及有关概念 3（向量是既有大小又有方向的量。长度相等、方向相同的向量相等。

4（正因为如此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。 向量的表示方法： 1（几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫点） 2（字母表示法：可表示为（印刷时用黑体字） 模的概念：向量的大小——长度称为向量的模。

记作：|| 模是可以比较大小的 两个特殊的向量： 1（零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。

注意与0的区别 2（单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。 向量间的关系： 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

记作：∥∥；规定：与任一向量平行 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作：=；规定：= 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。

共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。 三、向量的加法 1.定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。

注意：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2.三角形法则：（口诀）“首尾相接” 注意： 1（“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 2（可以推广到n个向量连加 3( 4（不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3.加法的交换律和平行四边形法则 1（向量加法的平行四边形法则。2（向量加法的交换律：+=+ 3（向量加法的结合律：（+） +=+ （+） 向量的减法 用“相反向量”定义向量的减法 1（“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量。

记作 （a 2（规定：零向量的相反向量仍是零向量。（（（a） = a，任一向量与它的相反向量的和是零向量。

a + ((a) = 0，如果a、b互为相反向量，则a = (b, b = (a, a + b = 0 3（向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。 即：a ( b = a + ((b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。

用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a ( b 求作差向量：已知向量a、b，求作向量 作法：在平面内取一点O， 作= a, = b 则= a ( b 即a ( b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。 注意：1（表示a ( b。

强调：差向量“箭头”指向被减数 2（用“相反向量”定义法作差向量，a ( b = a + ((b) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一。 五、实数与向量的积 实数λ与向量的积，记作：λ 定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ 1（|λ|=|λ。

2（λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ= 运算定律：结合律：λ（μ）=（λμ） ① 第一分配律：（λ+μ）=λ+μ ② 第二分配律：λ（+）=λ+λ ③ 六、向量共线的充要条件（向量共线定理） 若有向量（（）、，实数λ，使=λ则由实数与向量积的定义知：与为共线向量 若与共线（（）且||：||=μ，则当与同向时=μ 当与反向时=（μ 从而得：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ 使=λ 七、平面向量基本定理： 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2 注意几个问题： 1（ 、必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底 2（ 这个定理也叫共面向量定理 3（λ1，λ2是被，，唯一确定的数量 八、平面向量数量积（内积）的定义，a(b = |a||b|cos（， 并规定0与任何向量的数量积为0。

（ 注意的几个问题；——两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 1（两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos（的符号所决定。 2（两个向量的数量积称为内积，写成a(b；今后要学到两个向量的外积a*b，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。

3（在实数中，若a(0，且a(b=0，则b=0；但是在数量积中，若a(0，且a(b=0，不能推出b=0。因为其中cos（有可能为0。

这就得性质2。 4（已知实数a、b、c(b(0)，则ab=bc ( a=c。

但是a(b = b(c ( a = c 如右图：a(b = |a||b|cos( = |b||OA| b(c = |b||c|cos( = |b||OA| (ab=bc 但a ( c 5（在实数中，有（a(b)c = a(b(c)，但是（a(b)c ( a(b(c) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。 向量的数量积的几何意义： 数量积a(b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos（的乘积。

两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。 1(e(a = a(e =|a|cos( 2(a(b ( a(b = 0 3（当a与b同向时，a(b = |a||b|；当a与b反向时，a(b = (|a||b|。

特别的a(a = |a|2或 4(cos( = 5(|a(b| ≤ |a||b| 平面向量的运算律 1、交换律：a ( b = b ( a 2、（a）(b =(a(b) = a((b) a + b)(c = a(c + b(c。

6.高中向量知识梳理

一、平面向量 定义：既有大小又有方向的量叫向量。

例：力、速度、加速度、冲量等 注意：1（数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 2（从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。

向量的定义以及有关概念 3（向量是既有大小又有方向的量。长度相等、方向相同的向量相等。

4（正因为如此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。 向量的表示方法： 1（几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫点） 2（字母表示法：可表示为（印刷时用黑体字） 模的概念：向量的大小——长度称为向量的模。

记作：|| 模是可以比较大小的 两个特殊的向量： 1（零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。

注意与0的区别 2（单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。 向量间的关系： 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

记作：∥∥；规定：与任一向量平行 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作：=；规定：= 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。

共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。 三、向量的加法 1.定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。

注意：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2.三角形法则：（口诀）“首尾相接” 注意： 1（“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 2（可以推广到n个向量连加 3( 4（不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3.加法的交换律和平行四边形法则 1（向量加法的平行四边形法则。2（向量加法的交换律：+=+ 3（向量加法的结合律：（+） +=+ （+） 向量的减法 用“相反向量”定义向量的减法 1（“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量。

记作 （a 2（规定：零向量的相反向量仍是零向量。（（（a） = a，任一向量与它的相反向量的和是零向量。

a + ((a) = 0，如果a、b互为相反向量，则a = (b, b = (a, a + b = 0 3（向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。 即：a ( b = a + ((b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。

用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a ( b 求作差向量：已知向量a、b，求作向量 作法：在平面内取一点O， 作= a, = b 则= a ( b 即a ( b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。 注意：1（表示a ( b。

强调：差向量“箭头”指向被减数 2（用“相反向量”定义法作差向量，a ( b = a + ((b) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一。 五、实数与向量的积 实数λ与向量的积，记作：λ 定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ 1（|λ|=|λ。

2（λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ= 运算定律：结合律：λ（μ）=（λμ） ① 第一分配律：（λ+μ）=λ+μ ② 第二分配律：λ（+）=λ+λ ③ 六、向量共线的充要条件（向量共线定理） 若有向量（（）、，实数λ，使=λ则由实数与向量积的定义知：与为共线向量 若与共线（（）且||：||=μ，则当与同向时=μ 当与反向时=（μ 从而得：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ 使=λ 七、平面向量基本定理： 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2 注意几个问题： 1（ 、必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底 2（ 这个定理也叫共面向量定理 3（λ1，λ2是被，，唯一确定的数量 八、平面向量数量积（内积）的定义，a(b = |a||b|cos（， 并规定0与任何向量的数量积为0。

（ 注意的几个问题；——两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 1（两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos（的符号所决定。 2（两个向量的数量积称为内积，写成a(b；今后要学到两个向量的外积a*b，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。

3（在实数中，若a(0，且a(b=0，则b=0；但是在数量积中，若a(0，且a(b=0，不能推出b=0。因为其中cos（有可能为0。

这就得性质2。 4（已知实数a、b、c(b(0)，则ab=bc ( a=c。

但是a(b = b(c ( a = c 如右图：a(b = |a||b|cos( = |b||OA| b(c = |b||c|cos( = |b||OA| (ab=bc 但a ( c 5（在实数中，有（a(b)c = a(b(c)，但是（a(b)c ( a(b(c) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。 向量的数量积的几何意义： 数量积a(b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos（的乘积。

两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。 1(e(a = a(e =|a|cos( 2(a(b ( a(b = 0 3（当a与b同向时，a(b = |a||b|；当a与b反向时，a(b = (|a||b|。

特别的a(a = |a|2或 4(cos( = 5(|a(b| ≤ |a||b| 平面向量的运算律 1、交换律：a ( b = b ( a 2、（a）(b =(a(b) = a((b) a + b)(c = a(c + b(c。

7.求高中数学向量知识点

1、向量的加法：

AB+BC=AC

设a=(x,y) b=(x',y')

则a+b=(x+x',y+y')

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

向量加法的性质：

交换律：

a+b=b+a

结合律：

(a+b)+c=a+(b+c)

a+0=0+a=a

2、向量的减法

AB-AC=CB

a-b=(x-x',y-y')

若a//b

则a=eb

则xy`-x`y=0·

若a垂直b

则a·b=0

则xx`+yy`=0

3、向量的乘法

设a=(x,y) b=(x',y')

用坐标计算向量的内积：a·b（点积）=x·x'+y·y'

a·b=|a|·|b|*cosθ

a·b=b·a

(a+b)·c=a·c+b·c

a·a=|a|的平方

向量的夹角记为<a,b>；∈[0，π]

Ax+By+C=0的方向向量a=(-B,A)

(a·b)·c≠a·（b·c）

a·b=a·c不可推出b=c

设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使向量P1P=λ向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)

x=(x1+λx2)/(1+λ)

则有

y=(y1+λy2)/(1+λ)

我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

4、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣*∣a∣，当λ>0时，与a同方向；当λ实数λ叫做向量a的系数，乘数向量的几何意义时把向量a沿着的方向或反方向放大或缩小。