1.高中数学不等式总结

※不等式性质及证明※1.不等式的性质比较两实数大小的方法——求差比较法 ； ； 。

定理1：若 ，则 ；若 ，则 .即 。说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性。

定理2：若 ，且 ，则 。说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数；定理2称不等式的传递性。

定理3：若 ，则 。说明：（1）不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向；（2）定理3的证明相当于比较 与 的大小，采用的是求差比较法；（3）定理3的逆命题也成立； （4）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边。

定理3推论：若 。说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（3）同向不等式：两个不等号方向相同的不等式；异向不等式：两个不等号方向相反的不等式 定理4.如果 且 ，那么 ；如果 且 ，那么 。

推论1：如果 且 ，那么 。说明：（1）不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变；（2）两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向；（3）推论 可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘。

这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向。推论2：如果 ， 那么 。

定理5：如果 ，那么 。2.基本不等式定理1：如果 ，那么 （当且仅当 时取“ ”）。

说明：（1）指出定理适用范围： ；（2）强调取“ ”的条件 。定理2：如果 是正数，那么 （当且仅当 时取“=”）说明：（1）这个定理适用的范围： ；（2）我们称 的算术平均数，称 的几何平均数。

即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。3.常用的证明不等式的方法（1）比较法比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—判断—结论；为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负。

（2）综合法利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数的定理）和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法；利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件。综合法证明不等式的逻辑关系是： ，及从已知条件 出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论 。

（3）分析法证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。（1）“分析法”是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”；（2）综合过程有时正好是分析过程的逆推，所以常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程 ※不等式解法及应用※ 1.不等式的解法解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形”并列的“不等式的变形”，是研究数学的基本手段之一。

高考试题中，对解不等式有较高的要求，近两年不等式知识占相当大的比例。（1）同解不等式（（1） 与 同解；（2） 与 同解， 与 同解；（3） 与 同解）；2.一元一次不等式解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用。

情况分别解之。3.一元二次不等式 或 分 及 情况分别解之，还要注意 的三种情况，即 或 或 ，最好联系二次函数的图象 4.分式不等式分式不等式的等价变形： >0 f(x)•g(x)>0， ≥0 。

5.简单的绝对值不等式绝对值不等式适用范围较广，向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉及到绝对值不等式。高考试题中，对绝对值不等式从多方面考查。

解绝对值不等式的常用方法：①讨论法：讨论绝对值中的式于大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一般不等式；②等价变形：解绝对值不等式常用以下等价变形：|x|<a x2<a2 -a<x<a(a>0),|x|>a x2>a2 x>a或x<-a(a>0)。一般地有：|f(x)|<g(x) -g(x)<f(x)<g(x),|f(x)|>g(x) f(x)>g (x)或f(x)<g(x)。

6.指数不等式 ； ；7.对数不等式 等，（1）当 时， ；（2）当 时， 。8.线性规划（1）平面区域一般地，二元一次不等式 在平面直角坐标系中表示 某一侧所有点组成的平面区域。

我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐标系中画不等式 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把直线画成实线 说明：由于直线 同侧的所有点的坐标 代入 ，得到实数符号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特殊点 ，从 的正负即可判断 表示直线哪一侧的平面区域。

特别地，当 时，通常把原点作为此特殊点 （2）有关概念引例：设 ，式中变量 满足条件 ，求 的最大值和最小值。由题意，变量 所满足的每。

2.高一数学不等式公式整理

1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。

不等式的基本性质有：

(1) 对称性：a>bb<a;

(2) 传递性：若a>b,b>c，则a>c;

(3) 可加性：a>ba+c>b+c;

(4) 可乘性：a>b，当c>0时，ac>bc；当c<0时，ac<bc。

不等式运算性质：

(1) 同向相加：若a>b,c>d，则a+c>b+d;

(2) 异向相减：，.

(3) 正数同向相乘：若a>b>0,c>d>0，则ac>bd。

(4) 乘方法则：若a>b>0,n∈N+，则；

(5) 开方法则：若a>b>0,n∈N+，则；

(6) 倒数法则：若ab>0,a>b，则。

2、基本不等式

定理：如果，那么（当且仅当a=b时取“=”号）

推论：如果，那么（当且仅当a=b时取“=”号）

算术平均数；几何平均数；

推广：若，则

当且仅当a=b时取“=”号；

3、绝对值不等式

|x|0）的解集为：{x|-a|x|>a(a>0)的解集为：{x|x>a或x

3.高一基本不等式公式越多越好

加油！1.不等式的基本性质：性质1：如果a>b,b>c，那么a>c（不等式的传递性）.性质2：如果a>b，那么a+c>b+c（不等式的可加性）.性质3：如果a>b,c>0，那么ac>bc；如果a>b,cd，那么a+c>b+d.性质5：如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd.性质6：如果a>b>0,n∈N,n>1，那么an>bn，且.例1：判断下列命题的真假，并说明理由.若a>b,c=d，则ac2>bd2；（假） 若，则a>b；（真） 若a>b且abb；（真） 若|a|b2；（充要条件） 命题A:a命题A：，命题B:0说明：本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程，在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性.a,b∈R且a>b，比较a3-b3与ab2-a2b的大小.（≥） 说明：强调在最后一步中，说明等号取到的情况，为今后基本不等式求最值作思维准备.例4：设a>b,n是偶数且n∈N*，试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小.说明：本例条件是a>b，与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a,b为正值这一条件，为此我们必须对a,b的取值情况加以分类讨论.因为a>b，可由三种情况（1）a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想.练习：1.若a≠0，比较（a2+1）2与a4+a2+1的大小.（>） 2.若a>0,b>0且a≠b，比较a3+b3与a2b+ab2的大小.（>） 3.判断下列命题的真假，并说明理由.（1）若a>b，则a2>b2；（假） （2）若a>b，则a3>b3；（真） （3）若a>b，则ac2>bc2；（假） （4）若，则a>b；（真） 若a>b,c>d，则a-d>b-c.（真）.。

4.高中不等式的公式有哪些

a,b,c,a1,a2,。

,an>0 (a+b)/2≥√ab a^2+b^2≥2ab (a+b+c)/3≥（abc）^(1/3) a^3+b^3+c^3≥3abc (a1+a2+…+an)/n≥（a1a2…an）^(1/n) 2/(1/a+1/b)≤√ab≤（a+b）/2≤√[（a^2+b^2）/2] n/(1/a1+1/a2+…+1/an)≤（a1a2…an）^(1/n)≤（a1+a2+…+an）≤√[（a1^2+a2^2+…an^2）/n] |x1|-|x2|≤|x1+x2|≤|x1|+|x2| |x1|-|x2|-…-|xn|≤|x1+x2+…xn|≤|x1|+|x2|+…+|xn。

5.高中数学：不等式的归纳总结

不等式解法

1、不等式的基本性质（8 条） 2、一元二次不等式的解法（注意讨论） 求一元二次不等式ax 2 + bx + c > 0（或 <0）

6、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解 法： 规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段 中取交集，最后取各段的并集.7、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 ⑴

(a ≠ 0， ∆ = b − 4 ac> 0) 解集的步骤：

2

f ( x) ≥ 0 f ( x) > a(a > 0) ⇔ 2 f ( x)> a f ( x) ≥ 0

6.高中选修数学不等式的主要考点

四、不等式 一、不等式的基本性质： 注意：（1）特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。

（2）注意课本上的几个性质，另外需要特别注意： ①若ab>0，则 。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。 ③图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象），直接比较大小。

④中介值法：先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小 二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 若 ，则 （当且仅当 时取等号） 基本变形：① ； ； ②若 ，则 ， 基本应用：①放缩，变形； ②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。

当 （常数），当且仅当 时， ； 当 （常数），当且仅当 时， ； 常用的方法为：拆、凑、平方； 如：①函数 的最小值 。 ②若正数 满足 ，则 的最小值 。

三、绝对值不等式： 注意：上述等号“=”成立的条件； 四、常用的基本不等式： （1）设 ，则 （当且仅当 时取等号） （2） （当且仅当 时取等号）； （当且仅当 时取等号） （3） ； ； 五、证明不等式常用方法： （1）比较法：作差比较： 作差比较的步骤： ⑴作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。 ⑵变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。

⑶判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。 注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。

（2）综合法：由因导果。 （3）分析法：执果索因。

基本步骤：要证……只需证……，只需证…… （4）反证法：正难则反。 （5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。

放缩法的方法有： ⑴添加或舍去一些项，如： ； ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如： ； ⑷利用常用结论： Ⅰ、； Ⅱ、； （程度大） Ⅲ、； （程度小） （6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。如： 已知 ，可设 ； 已知 ，可设 （ ）； 已知 ，可设 ； 已知 ，可设 ； （7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式； 六、不等式的解法： （1）一元一次不等式： Ⅰ、：⑴若 ，则 ；⑵若 ，则 ； Ⅱ、：⑴若 ，则 ；⑵若 ，则 ； （2）一元二次不等式： 一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；注：要对 进行讨论： （5）绝对值不等式：若 ，则 ； ； 注意：（1）.几何意义： ： ； ： ； （2）解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有： ⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；①若 则 ；②若 则 ；③若 则 ； （3）.通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。

（4）.含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。 （6）分式不等式的解法：通解变形为整式不等式； ⑴ ；⑵ ； ⑶ ；⑷ ； （7）不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。

（8）解含有参数的不等式： 解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论： ①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性. ②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论. ③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△），比较两个根的大小，设根为 （或更多）但含参数，要分 、、讨论。