1.【等差数列和等比数列的知识点.】

等差数列：公式编辑通项公式如果一个等差数列的首项为 ，公差为 ，那么该等差数列第 项的表达式为：即 第n项=首项 公差补充：第n项=第m项+（n-m）乘公差前n项和公式注意：n是正整数（相当于n个等差中项之和）等差数列前N项求和，实际就是梯形公式的妙用：上底为：a1首项，下底为a1+(n-1)d，高为n.即[a1+a1+(n-1)d]* n/2=a1 n+ n (n-1)d /2.推论一.从通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数（d≠0）或常数函数（d=0）,(n,an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的二次函数（d≠0）或一次函数（d=0,a1≠0），且常数项为0.二.从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1)，（类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。

=p(k)+p(n-k+1)),k∈{1,2，…，n}三.若m,n,p,q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q),S(2n-1)=(2n-1)*a(n),S(2n+1)=(2n+1)*a(n+1),S(k),S(2k)-S(k),S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…或等差数列，等等.若m+n=2p，则a(m)+a(n)=2*a(p)（对3的证明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n)p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q)；因为m+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p(q)）四.其他推论① 和=（首项+末项）*项数÷2（证明：s(n)=[n,n^2]*[1,1/2;0,1/2]*[b(0);b(1)]=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2(p(1)+p(n))*n/2=(b(0)+b(1)+b(0)+b(1)*n)*n/2=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2=s(n)）证明原理见高斯算法项数=（末项-首项）÷公差+1（证明：（p(n)-p(1))/b(1)+1=(b(0)+b(1)*n-(b(0)+b(1)))/b(1)+1=(b(1)*(n-1))/b(1)+1=n-1+1=n）② 首项=2和÷项数-首项或末项-公差*（项数-1）③ 末项=2和÷项数-首项（以上2项为第一个推论的转换）④ 末项=首项+（项数-1）*公差（上一项为第二个推论的转换）推论3证明若m,n,p,q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)如a(m)+a(n)=a(1)+(m-1)*d+a(1)+(n-1)*d=2*a(1)+(m+n-2)*d同理得，a(p)+a(q)=2*a(1)+(p+q-2)*d又因为m+n=p+q ;a(1),d均为常数所以若m,n,p,q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)若m,n,p∈N*，且m+n=2p，则有a(m)+a(n)=2a(p)注：1.常数列不一定成立2.m,p,q,n属于自然数⑤2（前2n项和-前n项和）=前n项和+前3n项和-前2n项和等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列（Geometric Sequences）.这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）且等比数列a1≠ 0.注：q=1时，为常数列.（1）通项公式：（2）求和公式：任意两项，的关系为；在运用等比数列的前n和时，一定要注意讨论公比q是否为1.(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：（4）等比中项：若，那么为等比中项.记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列.在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的.等比中项定义：从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项.等比中项公式：或者.（5）无穷递缩等比数列各项和公式：无穷递缩等比数列各项和公式：公比的绝对值小于1的无穷等比数列，当n无限增大时的极限叫做这个无穷等比数列各项的和.（6）由等比数列组成的新的等比数列的公比：{an}是公比为q的等比数列1.若A=a1+a2+……+anB=an+1+……+a2nC=a2n+1+……a3n则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q^n2.若A=a1+a4+a7+……+a3n-2B=a2+a5+a8+……+a3n-1C=a3+a6+a9+……+a3n则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q2性质编辑（1）若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq;(2)在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.（3）“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.(4)若{an}是等比数列，公比为q1,{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n},{a3n}…是等比数列，公比为q1^2,q1^3…{can},c是常数，{an*bn},{an/bn}是等比数列，公比为q1,q1q2,q1/q2.(5)等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段和为等比.（6）若（an）为等比数列且各项为正，公比为q，则（log以a为底an的对数）成等差，公差为log以a为底q的对数.（7） 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.注意：上述公式中A^n表示A的n次方.（8）由于首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式可以写成an=(a1/q)*q^n，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列.。

2.等比数列公式有哪些

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。 （1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^(n-1) 若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*)，当q>0时，则可把an看作自变量n的函数，点（n,an）是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。

（2） 任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m) (3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2，…，n} (4)等比中项：aq·ap=ar*2,ar则为ap,aq等比中项。 记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1 另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。

在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。 性质： ①若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq； ②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列. “G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”. (5) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an*q)/(1-q)(q≠1) Sn=n*a1 (q=1) 在等比数列中，首项A1与公比q都不为零. 注意：上述公式中A^n表示A的n次方。

等比数列在生活中也是常常运用的。 如：银行有一种支付利息的方式---复利。

即把前一期的利息和本金加在一起算作本金， 再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。 按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*（1+利率）^存期。

3.等差数列,等比数列的基本知识

等差数列 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

通项公式 等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d (1) 前n项和公式 前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (2) 以上n均属于正整数。 推论 1.从（1）式可以看出，an是n的一次函数（d≠0）或常数函数（d=0）,(n,an)排在一条直线上，由（2）式知，Sn是n的二次函数（d≠0）或一次函数（d=0,a1≠0），且常数项为0。

2. 从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2，…，n} 3.若m,n,p,q∈N*，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq,Sm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。 4.其他推论 和=（首项+末项）*项数÷2 项数=（末项-首项）÷公差+1 首项=2和÷项数-末项 末项=2和÷项数-首项 末项=首项+（项数-1）*公差 等差中项 在等差数列中，等差中项：一般设为Ar,Am+An=2Ar，所以Ar为Am,An的等差中项，且为数列的平均数。

且任意两项am,an的关系为：an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式。 [编辑本段]二、等差数列的应用： 日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别 时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。

若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n)=0。 其实，中国古代南北朝的张丘建早已在《张丘建算经》提到等差数列了： 今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？ 书中的解法是：并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得。

这相当于给出了Sn=(a1+an)/2*n的求和公式 [编辑本段]三、等差数列的基本性质 ⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d. ⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd. ⑶若、为等差数列，则{ a ±b }与{ka +b}(k、b为非零常数)也是等差数列. ⑷对任何m、n ，在等差数列中有：a = a + (n-m)d，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性. ⑸、一般地，如果l,k,p，…，m,n,r，…皆为自然数，且l + k + p + … = m + n + r + … （两边的自然数个数相等），那么当为等差数列时，有：a + a + a + … = a + a + a + … . ⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k为取出项数之差). ⑺如果是等差数列，公差为d，那么，a ,a ，…，a 、a 也是等差数列，其公差为-d；在等差数列中，a -a = a -a = md .（其中m、k、） ⑻在等差数列中，从第一项起，每一项（有穷数列末项除外）都是它前后两项的等差中项. ⑼当公差d>0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d ⑽设a 1,a 2,a 3为等差数列中的三项，且a1 与a2 ,a 2与a 3的项距差之比 = d( d≠-1)，则2a2 = a1+a3. [编辑本段]四、等差数列前n项和公式S 的基本性质 ⑴数列为等差数列的充要条件是：数列的前n项和S 可以写成S = an + bn的形式（其中a、b为常数）. ⑵在等差数列中，当项数为2n (n N )时，S -S = nd， = ；当项数为（2n-1） (n )时，S -S = a ， = . ⑶若数列为等差数列，则S ,S -S ,S -S ，…仍然成等差数列，公差为 . ⑷若两个等差数列、的前n项和分别是S 、T (n为奇数)，则 = . ⑸在等差数列中，S = a,S = b (n>m)，则S = (a-b). ⑹等差数列中， 是n的一次函数，且点（n， ）均在直线y = x + (a - )上. ⑺记等差数列的前n项和为S .①若a >0，公差d0，则当a ≤0且a ≥0时，S 最小. 等比数列 简介与公式 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

(1)等比数列的通项公式是：An=A1*q^(n-1) 若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*)，当q>0时，则可把an看作自变量n的函数，点（n,an）是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。 （2）求和公式：Sn=nA1(q=1) Sn=A1(1-q^n)/(1-q) =(a1-a1q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n （ 即A-Aq^n） （前提：q≠ 1） 任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m) (3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2，…，n} (4)等比中项：aq·ap=ar^2,ar则为ap,aq等比中项。

记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1 另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

（5）无穷递缩等比数列各项和公式： 无穷递缩等比数列各项和公式：对于等比数列 的前n 项和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷递缩数列的各项和。 [编辑本段]性质 ①若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq； ②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列. “G是a、。

4.求等比数列所有知识点

搜索词条等比数列[děng bǐ shù liè]更多图片（15张）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比的比值等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0），等比数列a1≠ 0。注：q=1 时，an为常数列。

中文名：等比数列外文名：geometric progression应用学科：数学适用领域范围：数学，金融等分享简介公式一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列（Geometric Sequences）。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）且等比数列a1≠ 0。

注：q=1时， 为常数列。

（1）通项公式：（2）求和公式：Sn=(a1-anq)/1-q求和公式用文字来描述就是：Sn=（首项-末项*公比）÷（1-公比）任意两项 ， 的关系为 ；在运用等比数列的前n项和时，一定要注意讨论公比q是否为1.(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：（4）等比中项：若 ，那么 为 等比中项。记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1。

另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

等比中项定义：从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项。等比中项公式： 或者 。

（5）无穷递缩等比数列各项和公式：无穷递缩等比数列各项和公式：公比的绝对值小于1的无穷等比数列，当n无限增大时的极限叫做这个无穷等比数列各项的和。（6）由等比数列组成的新的等比数列的公比：{an}是公比为q的等比数列1.若A=a1+a2+……+anB=an+1+……+a2nC=a2n+1+……a3n则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q^n2.若A=a1+a4+a7+……+a3n-2B=a2+a5+a8+……+a3n-1C=a3+a6+a9+……+a3n则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q性质（1）若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq。

(2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。（3）若“G是a、b的等比中项”则“G^2=ab(G≠0)”。

(4)若{an}是等比数列，公比为q1,{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n},{a3n}…是等比数列，公比为q1^2,q1^3…{can},c是常数，{an*bn},{an/bn}是等比数列，公比为q1,q1q2,q1/q2。(5)等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段和为等比。

（6）若（an）为等比数列且各项为正，公比为q，则（log以a为底an的对数）成等差，公差为log以a为底q的对数。（7） 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。

注意：上述公式中A^n表示A的n次方。（8）由于首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式可以写成an=(a1/q)*q^n，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。

求通项方法（1）待定系数法：已知a(n+1)=2an+3,a1=1，求an？构造等比数列a(n+1)+x=2(an+x)a(n+1)=2an+x，∵a(n+1)=2an+3 ∴x=3∴（a(n+1)+3)/(an+3)=2∴{an+3}为首项为4，公比为2的等比数列，所以an+3=a1*q^(n-1)=4*2^(n-1),an=2^(n+1)-3(2)定义法：已知Sn=a·2^n+b，，求an的通项公式？∵Sn=a·2^n+b∴Sn-1=a·2^n-1+b∴an=Sn-Sn-1=a·2^n-1应用等比数列在生活中也是常常运用的。如：银行有一种支付利息的方式——复利。

即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，在计算下一期的利息，也就是人们通常说的“利滚利”。按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*（1+利率）^存期。

例题例1设ak,al,am,an是等比数列中的第k、l、m、n项，若k+l=m+n，求证：ak*al=am*an证明：设等比数列的首项为a1，公比为q，则：ak=a1·q^(k-1),al=a1·q^(l-1),am=a1·q^(m-1),an=a1·q^(n-1)所以：ak*al=a^2*q^(k+l-2),am*an=a^2*q(m+n-2)，故：ak*al=am*an说明：这个例题是等比数列的一个重要性质，它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端（首末两项）距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积，即：a(1+k)·a(n-k)=a1·an对于等差数列，同样有：在等差数列中，距离两端等这的两项之和等于首末两项之和。

即：a(1+k)+a(n-k)=a1+an例2在等差数列中，a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a9-a10=( )A.20 B.22 C.24 D28解：由a4+a12=2a8,a6+a10 =2a8及已知条件得：5a8=120,a8=24而2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24。故选C。

5.等比数列的一些知识

一般地，如果有一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于现中一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比；公比通常用字母表示（），即。

等比数列具有以下性质：

(1)等比数列的通项公式：或；

(2)等比数列的前项和公式：；

(3)等比中项：；

(4)无穷递缩等比数列各项公式：对于等比数列的前项和，当无限增大时的极限，叫做这个无穷递缩数列的各项的和，记为，即；

(5)设是等比数列，则（是常数），仍成等比数列；

(6)设，是等比数列，则也是等比数列；

(7)设是等比数列，是等差数列，且则也是等比数列（即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）；

(8)设是正项等比数列，则是等差数列；

(9)若，则；特别地，当时，；

(10)设，，，则有；

(11)其他衍生等比数列：若已知等比数列，公比为，前项和为，则

①.为等比数列，公比为；

②.（即）为等比数列，公比为；

6.等比数列的要点都有哪些

①若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq； ②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列. “G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”. ③若（an）是等比数列，公比为q1,(bn)也是等比数列，公比是q2，则 （a2n）,(a3n)…是等比数列，公比为q1^2,q1^3… （can）,c是常数，（an*bn）,(an/bn)是等比数列，公比为q1,q1q2,q1/q2。 (4)按原来顺序抽取间隔相等的项，仍然是等比数列。 （5）等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段和为等比。 （6）若（an）为等比数列且各项为正，公比为q，则（log以a为底an的对数）成等差，公差为log以a为底q的对数。 （7） 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1) (8) 数列{An}是等比数列，An=pn+q，则An+K=pn+K也是等比数列， 在等比数列中，首项A1与公比q都不为零. 注意：上述公式中A^n表示A的n次方。 （9）由于首项为a1，公比为q的等比数列的通向公式可以写成an*q/a1=q^n，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。

【网上找的，如果楼主有什么疑问，请追问，如果满意，望采纳，谢谢】

7.关于等比数列和的公式

原发布者：lanaeric

等比数列的求和公式一、基本概念和公式等比数列的求和公式：（）（）=或=（q=1）(q=1)Array，即如果q是否等于1不确定则需要对q=1或进行Array。推导性质：如果等差数列由奇数项，则S奇-S偶=a中；如果等差数列由奇数项，则S偶-S奇=。二、例题精选：例1：已知数列{}满足：，求该数列的通项。例2：在等比数列{}中，，则公比q=。-例3:(1)等比数列{}中，，则=；（2）若，则n=。例4：正项的等比数列{}的前n项和为80，其中数值最大的项为54，前2n项的和为6560，求数列的首项和公比q。例5：已知数列{}的前n项和=，（a是不为0的常数），那么数列{}是？例6：设等比数列{}的前n项和为，若，求数列的公比q。例7：求和：。例8：在和n+1之间插入n个正数，使这n+2个数成等比数列，求插入的n个数的积。例9：对于数列{}，若是首项为1，公比为的等比数列，求：（1）;(2)。