1.平面直角坐标系的13个知识点

平面直角坐标系中的有关知识点1.定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系画平面直角坐标系时， 轴、y轴上的单位长度通常应相同，但在实际应用中，有时会遇到取相同的单位长度有困难的情况，这时可灵活规定单位长度，但必须注意的是，同一坐标轴上相同长度的线段表示的单位数量相同。

2. 各个象限内点的特征：第一象限：（+，+） 点P(x,y)，则x>0,y>0；第二象限：（-，+） 点P(x,y)，则x0；第三象限：（-，-） 点P(x,y)，则x第四象限：（+，-） 点P(x,y)，则x>0,y 在x轴上：（x,0） 点P(x,y)，则y=0；在x轴的正半轴：（+，0） 点P(x,y)，则x>0,y=0；在x轴的负半轴：（-，0） 点P(x,y)，则x在y轴上：（0,y） 点P(x,y)，则x=0；在y轴的正半轴：（0，+） 点P(x,y)，则x=0,y>0；在y轴的负半轴：（0，-） 点P(x,y)，则x=0,y坐标原点：（0,0） 点P(x,y)，则x=0,y=0;3. 点到坐标轴的距离：点P(x,y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|。到坐标原点的距离为 。

4.中点与两点间的距离： 已知点A(x1,y1),B(x2,y2) 则AB= AB的中点P为 5.点的对称：点P(m,n)，关于x轴的对称点坐标是（m,-n），关于y轴的对称点坐标是（-m,n）关于原点的对称点坐标是（-m,-n）6. 平行线：平行于x轴的直线上的点的特征：纵坐标相等；平行于y轴的直线上的点的特征：横坐标相等。7.象限角的平分线：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等，可记作 。

点P(a,b)关于第一、三象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是（b, a）第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数，可记作 点P(a,b)关于第二、四象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是（-b,-a）8.点的平移：在平面直角坐标系中，将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（ ，y）；将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（ ，y）；将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x,y+b）；将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x,y-b）。注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。

2.数学极坐标所有公式

极坐标系中的两个坐标 r 和 θ 可以由下面的公式转换为 直角坐标系下的坐标值

x = r \cos \theta \,

y = r \sin \theta \,

由上述二公式，可得到从直角坐标系中x 和 y 两坐标如何计算出极坐标下的坐标

r = \sqrt{x^2 + y^2} \,

\theta = \arctan \frac{y}{x}\ uad x \ne 0 \,

[9]在 x = 0的情况下：若 y 为正数 θ = 90° （π/2 radians）； 若 y 为负， 则 θ = 270° （3π/2 radians）.

[编辑] 极坐标方程

用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常表示为r为自变量θ的函数。

极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果r（−θ） = r（θ），则曲线关于极点（0°/180°）对称，如果r（π−θ） = r（θ），则曲线关于极点（90°/270°）对称，如果r（θ−α） = r（θ），则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。[9]

3.极坐标的有关知识

极坐标系是一个二维坐标系统。

该坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点——极点（相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点）的距离来表示。极坐标系的应用领域十分广泛，包括数学、物理、工程、航海以及机器人领域。

在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时，极坐标系便显得尤为有用；而在平面直角坐标系中，这样的关系就只能使用三角函数来表示。对于很多类型的曲线，极坐标方程是最简单的表达形式，甚至对于某些曲线来说，只有极坐标方程能够表示。

历史 主条目：三角函数的历史众所周知，希腊人最早使用了角度和弧度的概念。天文学家喜帕恰斯（Hipparchus 190-120 BC）制成了一张求各角所对弦的弦长函数的表格。

并且，曾有人引用了他的极坐标系来确定恒星位置。在螺线方面，阿基米德描述了他的著名的螺线，一个半径随角度变化的方程。

希腊人作出了贡献，尽管最终并没有建立整个坐标系统。关于是谁首次将极坐标系应用为一个正式的坐标系统，流传着有多种观点。

关于这一问题的较详尽历史，哈佛大学教授朱利安·卢瓦尔·科利奇的《极坐标系起源》[1][2]作了阐述。格雷瓜·德·圣-万桑特 和博纳文图拉·卡瓦列里，被认为在几乎同时、并独立地各自引入了极坐标系这一概念。

圣-万桑特在1625年的私人文稿中进行了论述并发表于1647年，而卡瓦列里在1635进行了发表，而后又于1653年进行了更正。卡瓦列里首次利用极坐标系来解决一个关于阿基米德螺线内的面积问题。

布莱士·帕斯卡随后使用极坐标系来计算抛物线的长度。在1671年写成，1736年出版的《流数术和无穷级数》（en:Method of Fluxions）一书中，艾萨克·牛顿第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点。

牛顿在书中验证了极坐标和其他九种坐标系的转换关系。在1691年出版的《博学通报》（Acta eruditorum）一书中雅各布·伯努利正式使用定点和从定点引出的一条射线，定点称为极点，射线称为极轴。

平面内任何一点的坐标都通过该点与定点的距离和与极轴的夹角来表示。伯努利通过极坐标系对曲线的曲率半径进行了研究。

实际上应用“极坐标”en:Polar coordinate system这个术语的是由格雷古廖·丰塔纳开始的，并且被18世纪的意大利数学家所使用。该术语是由乔治·皮科克在1816年翻译拉克鲁瓦克斯的《微分学与积分学》（Differential and Integral Calculus）[3][4][5] 一书时，被翻译为英语的。

阿勒克西斯·谢罗特和莱昂哈德·欧拉被认为是将平面极坐标系扩展到三维空间的数学家。在极坐标系中表示点点（3,60°） 和 点（4,210°）点（3,60°） 和 点（4,210°）正如所有的二维坐标系，极坐标系也有两个坐标轴：r（半径坐标）和θ（角坐标、极角或方位角，有时也表示为φ或t）。

r坐标表示与极点的距离，θ坐标表示按逆时针方向坐标距离0°射线（有时也称作极轴）的角度，极轴就是在平面直角坐标系中的x轴正方向。[6]比如，极坐标中的（3,60°）表示了一个距离极点3个单位长度、和极轴夹角为60°的点。

（−3,240°） 和（3,60°）表示了同一点，因为该点的半径为在夹角射线反向延长线上距离极点3个单位长度的地方（240° − 180° = 60°）。极坐标系中一个重要的特性是，平面直角坐标中的任意一点，可以在极坐标系中有无限种表达形式。

通常来说，点（r， θ）可以任意表示为（r， θ ± n*360°）或（−r， θ ± （2n + 1）180°），这里n是任意整数。[7] 如果某一点的r坐标为0，那么无论θ取何值，该点的位置都落在了极点上。

[编辑] 使用弧度单位极坐标系中的角度通常表示为角度或者弧度，使用公式2π rad = 360°.具体使用哪一种方式，基本都是由使用场合而定。航海（en:Navigation）方面经常使用角度来进行测量，而物理学的某些领域大量使用到了半径和圆周的比来作运算，所以物理方面更倾向使用弧度。

[8][编辑] 在极坐标系与平面直角坐标系（笛卡尔坐标系）间转换极坐标系中的两个坐标 r 和 θ 可以由下面的公式转换为 直角坐标系下的坐标值 x = r \cos \theta \, y = r \sin \theta \，由上述二公式，可得到从直角坐标系中x 和 y 两坐标如何计算出极坐标下的坐标 r = \sqrt{x^2 + y^2} \, \theta = \arctan \frac{y}{x}\qquad x \ne 0 \,[9]在 x = 0的情况下：若 y 为正数 θ = 90° （π/2 radians）； 若 y 为负， 则 θ = 270° （3π/2 radians）.[编辑] 极坐标方程用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常表示为r为自变量θ的函数。极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果r（−θ） = r（θ），则曲线关于极点（0°/180°）对称，如果r（π−θ） = r（θ），则曲线关于极点（90°/270°）对称，如果r（θ−α） = r（θ），则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。

[9][编辑] 圆方程为r（θ） = 1的圆。方程为r（θ） = 1的圆。

在极坐标系中，圆心在（r0， φ） 半径为 a 的圆的方程为 r^2 - 2 r r_0 \cos(\theta - \varphi) + r_0^2 = a^2 该方程可简化为不同的方法，以符合不同的特定情况，比如方程 r(\theta)=a \，表示一个以极点为中心半径为a的圆。[10][编辑] 直线经过极点的射线由如下方程表示 \theta = \varphi \，，其中φ为射线的倾斜角度，若 m为直角坐标系的射线的斜率，则有φ = arctan m。

任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。

4.高中数学,极坐标

这个是和差角公式的简单应用，属于高一三角函数的基础知识。

ρcosθ+ρsinθ-1=0√2ρ[（√2/2）sinθ+（√2/2）cosθ]=1ρ[sinθcos（π/4）+cosθsin（π/4）]=√2/2ρsin（θ+π/4）=√2/2都已经学极坐标方程了，前面学的三角函数的基础知识还没有掌握，说明你数学学习的欠缺非常多。以后还会遇到形形色色的三角函数恒等变换结合题，方法只有一个，就是把三角函数的章节认真学习并掌握，否则无法做题。

数学的学习是循序渐进的，学过的都不会，那就会越来越无所适从，无法解题。

5.高中数学~关于极坐标系的问题：求大神例2怎么做

先把点和直线全都转换成直角坐标，然后按部就班的做。

点的公式：（ρcosθ，ρsinθ）线的公式x=ρcosθy=ρsinθ然后总结出y和x的等式。……其实这道题是选择题，你完全可以用画图的方式。

θ是x轴右半轴开始往左转多少度的角度。ρ是在这个角度上的长度。

这样就很容易确定点和线！然后直接就出来答案了。没错，要适当的学会投机取巧！其实，极坐标与参数方程的题目完全不难，我们不追求学的有多明白，只求拿分就可以，对不对？所以我们无需用极坐标公式什么的，只要牢记极坐标和直角坐标的转换公式，做题的时候就转化为直角坐标！然后就是十分简单的直角坐标问题了。

如果答案需要你用极坐标回答，那就再转化回去。参数方程也是哦。

所以只要记住转化公式！什么都不是问题。