1.关于三角形的知识点总结

原发布者：鑫淼图文

4、三角形的主要线段的定义： （1）三角形的中线：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段. 如图：（1）AD是△ABC的BC上的中线.（2）BD=DC=BC. 注意：①三角形的中线是线段； ②三角形三条中线全在三角形的内部且交于三角形内部一点 （重心）③中线把三角形分成两个面积相等的三角形. （2）三角形的角平分线 ：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 ③由于三角形有三条高线，所以求三角形的面积的时候就有三种（因为高底不一样） 10、多边形 ：在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫多边

2.三角形的所有知识点,包括作图

三角形知识的实际运用

保明华

三角形知识主要包括三角形内的有关线段，三角形的三边关系，三角形的内角和及多边形的内角和。本文以三角形的边、角关系为例，谈谈其在实际中的应用。

三角形的三边关系是：三角形的任意两边之和大于第三边；三角形的三角关系是：三角形的内角和是180°，任一外角等于和它不相邻的两个内角之和。

例1（山西省中考题）如图1，平面上有A,B,C,D四个村庄，为了解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池，（不考虑其他因素）请你画图确定蓄水池H点的位置，使它与四个村庄的距离之和最小。

解析 蓄水池H，应建在四边形ABCD两对角线的交点处才符合要求。

不妨任取一点P，由“三角形的两边之和大于第三边”可推出：PA+PC≥AC PB+PD≥BD

所以PA+PB+PC+PD≥AC+BD

即PA+PB+PC+PD≥HA+HB+HC+HD

所以两条对角线的交点H到四个村庄的距离之和最小。

例2（宁夏回族自治区中考题）一个零件的形状如图2所示，按规定∠A应等于 ，∠B和∠C应分别是32°和21°。检验工人量得∠BDC=148°，就断定这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由。

解析 要说明零件不符合规格，只要说明按规定的标准，∠CDB≠148°即可。延长BD交AC于点E。∠BDC=∠1+∠C（你知道为什么吗？）∠1=∠A+∠B。即∠BDC=∠A+∠B+∠C=90°+32°+21°=143°≠148°。

所以这个零件不合格。

例3 某工程队准备开挖一条隧道，从缩短工期考虑，自山的两侧同时开挖。为了确保两侧开挖的隧道在同一条直线上，测量人员在如图3的同一高度定出了两个基准点P（可同时看到点A,M,N）和Q，然后在左边定出开挖的方向线AM，为了准确定出右边开挖的方向线BN，测得∠A=25°，∠APQ=120°，如果点A,M,B在同一直线上，那么∠PBN应等于多少度才能确定N点的位置使与点A,M,B在同一条直线上？

解析 因为点A,M,B在同一直线上，若N点也在这条直线上时，则PA,PB和AMNB构成了三角形的三边，∠NBP是该三角形的一个内角，其度数为180°-∠A-∠P=180°-25°-120°=35°。

3.三角形的全部知识

1、三角形的分类

三角形按边的关系分类如下：

三角形包括不等边三角形和等腰三角形

等腰三角形 包括底和腰不相等的等腰三角形和等边三角形

三角形按角的关系分类如下：

三角形包括 直角三角形（有一个角为直角的三角形）和斜三角形

斜三角形 包括 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）和 钝角三角形（有一个角为钝 角的三角形）

把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。

2、三角形的三边关系定理及推论

(1)三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

3、三角形的内角和定理及推论

三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：

①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

4、三角形的面积

三角形的面积=*底*高

全等三角形

1、全等三角形的概念

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、三角形全等的判定

三角形全等的判定定理：

(1)边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）

(2)角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）

(3)边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

直角三角形全等的判定：

对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）

3、全等变换

只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。

全等变换包括一下三种：

(1)平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。

(2)对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。

(3)旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。

等腰三角形

1、等腰三角形的性质

(1)等腰三角形的性质定理及推论：

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）

推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

2、三角形中的中位线

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

(1)三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

(2)要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形中位线定理的作用：

位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

4.三角形知识 初二 20个知识点

三角形的定义三角形是多边形中边数最少的一种。

它的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。三条线段不在同一条直线上的条件，如果三条线段在同一条直线上，我们认为三角形就不存在。

另外三条线段必须首尾顺次相接，这说明三角形这个图形一定是封闭的。三角形中有三条边，三个角，三个顶点。

三角形中的主要线段三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线。这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上，通过作图加以熟练掌握。

并且对这三条线段必须明确三点：（1）三角形的角平分线、中线、高线均是线段，不是直线，也不是射线。（2）三角形的角平分线、中线、高线都有三条，角平分线、中线，都在三角形内部。

而三角形的高线在当△ABC是锐角三角形时，三条高都是在三角形内部，钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高在三角形的外部，直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。（3）在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。

在以后我们可以给出具体证明。今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，三条中线的交点叫做三角形的重心，三条高的交点叫做三角形的垂心。

三角形的按边分类三角形的三条边，有的各不相等，有的有两条边相等，有的三条边都相等。所以三角形按边的相等关系分类如下：等边三角形是等腰三角形的一种特例。

判定三条边能否构成三角形的依据△ABC的三边长分别是a、b、c，根据公理“连接两点的所有线中，线段最短”。可知：③a+b>c，①a+c>b，②b+c>a定理：三角形任意两边的和大于第三边。

由②、③得 b―a―c故|a―b|从而得到推论：三角形任意两边的差小于第三边。 上述定理和推论实际上是一个问题的两种叙述方法，定理包含了推论，推论也可以代替定理。

另外，定理和推论是判定三条线段能否构成三角形的依据。如：三条线段的长分别是5、4、3便能构成三角形，而三条线段的长度分别是5、3、1，就不能构成三角形。

判定三条边能否构成三角形对于某一条边来说，如一边a，只要满足|b-c|-a.也就是a+c>b且a+b>c，再加上b+c>a，便满足任意两边之和大于第三边的条件。反过来，只要a、b、c三条线段满足能构成三角形的条件，则一定有|b-c|在特殊情况下，如果已知线段a最大，只要满足b+c>a就可判定a、b、c三条线段能够构成三角形。

同时如果已知线段a最小，只要满足|b-c|证明三角形的内角和定理除了课本上给出的证明方法外还有多种证法，这里再介绍两种证法的思路：方法1 如图，过顶点A作DE‖BC，运用平行线的性质，可得∠B=∠2，∠C=∠1，从而证得三角形的内角和等于平角∠DAE。方法2 如图，在△ABC的边BC上任取一点D，过D作DE‖AB,DF‖AC，分别交AC、AB于E、F，再运用平行线的性质可证得△ABC的内角和等于平角∠BDC。

三角形按角分类根据三角形的内角和定理可知，三角形的任一个内角都小于180°，其内角可能都是锐角，也可能有一个直角或一个钝角。三角形按角可分类如下：根据三角形的内角和定理可有如下推论：推论1 直角三角形的两个锐角互余。

推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

同时我们还很容易得到如下几条结论：（1）一个三角形最多有一个直角或钝角。（2）一个三角形至少有两个内角是锐角。

（3）一个三角形至少有一个角等于或小于60°（否则，若三个内角都大于60°；则这个三角形的内角和大于180°，这与定理矛盾）。（4） 三角形有六个外角，其中两两是对顶角相等，所以三角形的三个外角和等于360°。

全等三角形的性质全等三角形的两个基本性质（1）全等三角形的对应边相等。（2）全等三角形的对应角相等。

确定两个全等三角形的对应边和对应角怎样根据已知条件准确迅速地找出两个全等三角形的对应边和对应角？其方法主要可归结为：（1）若两个角相等，这两个角就是对应角，对应角的对边是对应边。（2）若两条边相等，这两条边就是对应边，对应边的对角是对应角。

（3）两个对应角所夹的边是对应边。（4）两个对应边所夹的角是对应角。

由全等三角形的定义判定三角形全等由全等三角形的定义知，要判定两个三角形全等，需要知道三条边，三个角对应相等，但在应用中，利用定义判定两个三角形全等却是十分麻烦的，因而需要找到能完全确定一个三角形的条件，以便用较少的条件，简便的方法来判定两个三角形的全等。判定两个三角形全等的边、角、边公理内容：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（即SAS）。

这个判定方法是以公理形式给出的，我们可以通过实践操作去验证它，但验证不等于证明，这点要区分开来。公理中的题设条件是三个元素：边、角、边，意指两条边和这两条边所夹的角对应相等。

不能理解成两边和其中一个角相等。否则，这两个三角形就不一定全等。

例如 在△ABC和△A′B′C′中，如右图，AB=A′B′，∠A=∠A′，BC=A′C′，但是△ABC不全等于△A′B′C′。又如，右图，在△ABC和△A′B′。

5.三角形的知识

普通三角形4种

有SAS SSS AAS ASA

直角三角形还有 HL

所谓三角形的"四心"，是指三角形的四种重要线段相交而成的四类特殊点.它们分别是三角形的内心，外心，垂心与重心.

1.垂心

三角形三条边上的高相交于一点，这一点叫做三角形的垂心.

2.重心

三角形三条边上的中线交于一点，这一点叫做三角形的重心.

3. 三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心

4. 三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心，

重心 三边上中线的交点

垂心 三条高的交点

内心 内接圆圆心 三个角角平分线交点

外心 外接圆圆心 三条边的垂直平分线交点

还有一个心叫傍心：外角平分线的交点（有3个），（或傍切圆的圆心） 只有正三角形才有中心，这时重心，内心.外心，垂心，四心合一.

6.三角形的全部知识

三角形 按角分：锐角三角形 直角三角形 钝角三角形按边分：不等边三角形 等腰三角形 等边三角形相似三角形：各对应角相等 对应边成比例的三角形 判断相似三角形：1、各对应角相等 2、对应边成比例 3、有两条对应边成比例且这两条边的夹角相等 4、平行于一个三角形的直线与这个三角形的另两条边所构成的三角形与此三角形相似全等三角形：相似比为1的相似三角形 是相似三角形的特殊情况 全等三角形的判定：1、三条对应边相等 2、有两个角相等且有任意一条边相等 3、任意两边相等的直角三角形全等勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方三角形三条边的关系：任意两条边的和一定大于第三条边 任意两条边的差一定小于第三条边三角形的三个内角的和等于180°等腰三角形顶角所对的边的高与中线与顶角的角平分线在同一条直线上等腰三角形的两底角相等 两腰相等等边三角形三边相等 三角相等且都等于60° 等边三角形的高等于其边长的3^0.5/2倍三角形的面积等于 底乘以高除以二三角函数：正弦（sin） 余弦（cos） 正切（tan） 余切（cot）sinA=角A对的边除以斜边 cosA=角A的邻边除以斜边 tanA=角A的对边除以角A的邻边 cotA=角A的邻边除以角A的对边（sinA）^2+(cosA)^2=1 sinA=tanA*cosA tanA=1/cotA这是百度文库里的有关三角形的全部知识，可以免费下载，你可以参考看看。

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