1.关于导数的基本知识

导数（derivative function）

亦名纪数、微商（微分中的概念），由速度变化问题和曲线的切线问题而抽象出来的数学概念。又称变化率。 如一辆汽车在10小时内走了 600千米，它的平均速度是60千米/小时. 但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米/小时。 为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔， 设汽车所在位置s与时间t的关系为 s=f(t) 那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是 [f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 当 t1与t0很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0 到 t1这段时间内的运动变化情况 . 自然就把极限[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度。 一般地，假设一元函数 y=f(x )在 x0点的附近（x0-a ,x0 +a）内有定义； 当自变量的增量Δx= x-x0→0时函数增量Δy=f(x)- f(x0)与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的（或变化率）. 导数的几何意义

若函数f在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作 f(x)' 或y'，称之为f的导函数，简称为导数。 函数y=f(x)在x0点的导数f'(x0)的几何意义：表示函数曲线在P0〔x0,f(x0)〕 点的切线斜率 一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性的法则：设y=f(x )在（a,b）内可导。如果在（a,b）内，f'(x)>0，则f(x)在这个区间是单调增加的。。如果在（a,b）内，f'(x)

2.导数的基本公式

基本函数导数： 所谓基本函数通所说初等函数例数函数y=c函数y=kx b二函数y=ax^2 bx c，幂函数y=x^a，指数函数y=a^x，数函数y=loga x自数函数y=lnx三角函数反三角函数等些函数导数需要记住具体公式：2y=c y'=0 y=x^n y'=nx^(n-1) y=a^x y'=a^xlna y=e^x y'=e^x y=logax y'=logae/x y=lnx y'=1/x y=sinx y'=cosx y=cosx y'=-sinx y=tanx y'=1/cos^2x y=cotx y'=-1/sin^2x y=arcsinx y'=1/√1-x^2 y=arccosx y'=-1/√1-x^2 y=arctanx y'=1/1 x^2 y=arccotx y'=-1/1 x^2END/步骤2：导数运算则：1 导数运算则指导数加、减、乘、除四则运算则需要掌握重要内容公式： ①（u±v）=u'v±vu' ②uv=u'v uv' ③u/v=(u'v-uv')/v^2 边u。

v般代表两同函数同数三运算则特别要记住两函数商导数求现减号容易错于面提二函数符合函数差运算则所y'=(ax^2)' (bx)' c'=2ax b 0=2ax b。END/步骤3：初等函数四则运算求导1 初等函数四则运算述提基本函数其求导通要用述求导运算则单独使用其运算则运算则同使用面举几例2(1)y=sinx 5x-cosx，函数差运算求导则仅使用①所：y'=(sinx)' (5x)'-(cosx)'=cosx 5-(-sinx)=cosx sinx 5。

3(2)y=(5sinx)*(3cosx)，函数乘积运算求导则仅使用②所：y'=(5sinx)'(3cosx) (5sinx)(3cosx)'=(5cosx)(3cosx) (5sinx)(-3sinx)=15(cos^2x-sin^2x)=15cos2x。 4(3)y=sinx/cosx，函数商运算求导则仅使用③所：y'=[(sinx)'cosx-(sinx)(cosx)']/(cosx)^2=[cosxcosx-(sinx)(-sinx)]/(cosx)^2=1/(cosx)^2=sec^2x，实际y=sinx/cosx=tanx其导数通则求5(4)y=(sinx-5x x^2cosx)/x，函数求导述三运算则都要使用所：y'=[(sinx-5x x^2cosx)'x-(sinx-5x x^2cosx)x']/x^2={[(sinx)'-(5x)' (x^2cosx)']x-(sinx-5x x^2cosx)}/x^2={[cosx-5 (x^2)'cosx (x^2)(cosx)']x-sinx 5x-x^2cosx}/x^2={[cosx-5 2xcosx-x^2sinx]x-sinx 5x-x^2cosx}/x^2=(xcosx-5x 2x^2cosx-x^3sinx-sinx 5x-x^2cosx)/x^2=(xcosx x^2cosx-x^3sinx-sinx)/x^2。

END/步骤4：• 复合函数求导则1 复合函数y=f(g(x)）导数函数y=f(u)u=g(x)即y=f(g(x)）导数间关系y' =f'(g(x))*g'(x)即yx导数等于yu导数与ux导数乘积。 举例：2 (1)y=(2x 1)^5,y'=5(2x 1)^4*(2x 1)'=5(2x 1)^4*2=10(2x 1)^4。

3 (2) y=sin(x^2 2x)。 y'=cos(x^2 2x)*(x^2 2x)'=cos(x^2 2x)*(2x 2)=2(x 1)cos(x^2 2x)。

4(3)y=(3x)^x，既指数函数幂函数所求导前要变型：lny=xln3x，两边求导：y'/y=ln3x x(ln3x)'y'/y=ln3x x*3/3x=ln3x 1所y'=(3x)^x(1 ln3x)。 END/步骤5：积函数求导 积限函数求导公式：[∫（a,c）f(x)dx]'=0ac数解释：于积限数积函数其导数=0。

[∫（g(x),c)f(x)dx]'=f(g(x))*g'(x),a数g(x)积限函数解释：积限函数求导公式=积函数积限自变量函数值乘积限导数[∫（g(x),p(x))f(x)dx]'=f(g(x))*g'(x)-f(p(x))*p'(x),a数g(x)积限函数p(x)积限函数解释：积限函数求导公式=积函数积限自变量函数值乘积限导数-积函数积限自变量函数值乘积限导数（1）[∫（x^2,1）(2x 5)dx]'=(2x^2 5)*(x^2)'=(2x^2 5)*2x=4x^3 10x(2)[∫（2x^2-1。 x）sinxdx]'=sin(2x^2-1)*(2x^2-1)'-sinx*(x)'=4xsin(2x^2-1)-sinx。

3.求导500题哪位大神有求导数的500题（考研巩固基础专用）,

同步练习1.若f(x)=sinα-cosx，则f′（α）等于A.sinα B.cosαC.sinα+cosα D.2sinα2.f(x)=ax3+3x2+2，若f′（-1）=4，则a的值等于A. B.C. D.3.函数y=sinx的导数为A.y′=2sinx+cosx B.y′=+cosxC.y′=+cosx D.y′=-cosx4.函数y=x2cosx的导数为A.y′=2xcosx-x2sinx B.y′=2xcosx+x2sinxC.y′=x2cosx-2xsinx D.y′=xcosx-x2sinx5.若y=(2x2-3)(x2-4)，则y'= .6. 若y=3cosx-4sinx ，则y'= .7.与直线2x-6y+1=0垂直，且与曲线y=x3+3x2-1相切的直线方程是______.8.质点运动方程是s=t2(1+sint)，则当t=时，瞬时速度为___________.9.求曲线y=x3+x2-1在点P(-1,-1)处的切线方程.同步练习1.函数y=(a>0)的导数为0，那么x等于A.a B.±aC.-a D.a22.函数y=的导数为A.y′= B.y′=C.y′= D.y′=3.若则y'= .4.若则y'= .5.若则y'= .6.已知f(x)=，则f′（x）=___________.7.已知f(x)=，则f′（x）=___________.8.已知f(x)=，则f′（x）=___________.9.求过点（2,0）且与曲线y=相切的直线的方程.10.质点的运动方程是求质点在时刻t=4时的速度.同步练习1.函数y=的导数是A. B. C.- D.-2.已知y=sin2x+sinx，那么y′是A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值，又有最小值的偶函数C.仅有最大值的偶函数 D.非奇非偶函数3.函数y=sin3(3x+)的导数为A.3sin2(3x+)cos(3x+) B.9sin2(3x+)cos(3x+)C.9sin2(3x+) D.-9sin2(3x+)cos(3x+)4.若y=(sinx-cosx，则y'= .5. 若y=，则y'= .6. 若y=sin3(4x+3)，则y'= .7.函数y=(1+sin3x)3是由___________两个函数复合而成.8.曲线y=sin3x在点P(,0)处切线的斜率为___________.9.求曲线处的切线方程.10. 求曲线处的切线方程.同步练习1.函数y=cos(sinx)的导数为A.-[sin(sinx)]cosx B.-sin(sinx)C.[sin(sinx)]cosx D.sin(cosx)2.函数y=cos2x+sin的导数为A.-2sin2x+ B.2sin2x+C.-2sin2x+ D.2sin2x-3.过曲线y=上点P(1，)且与过P点的切线夹角最大的直线的方程为A.2y-8x+7=0 B.2y+8x+7=0C.2y+8x-9=0 D.2y-8x+9=04.函数y=xsin(2x-)cos(2x+)的导数是______________.5.函数y=的导数为______________.6.函数y=cos3的导数是___________.同步练习 1.函数y=ln(3-2x-x2)的导数为A. B.C. D.2.函数y=lncos2x的导数为A.-tan2x B.-2tan2xC.2tanx D.2tan2x3.函数y=的导数为A.2x B.C. D.4.在曲线y=的切线中，经过原点的切线为________________.5.函数y=log3cosx的导数为___________.6.函数y=x2lnx的导数为 .7. 函数y=ln(lnx)的导数为 .8. 函数y=lg(1+cosx)的导数为 .9. 求函数y=ln的导数.10. 求函数y=ln的导数.12.求函数y=ln(-x)的导数.同步练习 1.下列求导数运算正确的是A.(x+)′=1+ B.(log2x)′=C.(3x)′=3xlog3e D.(x2cosx)′=-2xsinx2.函数y=(a>0且a≠1)，那么y′为A.lna B.2(lna)C.2(x-1)·lna D.(x-1)lna3.函数y=sin32x的导数为A.2(cos32x)·32x·ln3 B.(ln3)·32x·cos32xC.cos32x D.32x·cos32x4.设y=，则y′=___________.5.函数y=的导数为y′=___________.6.曲线y=ex-elnx在点（e,1）处的切线方程为___________.7.求函数y=e2xlnx 的导数.8.求函数y=xx(x>0)的导数.同步练习1.若f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，且x∈（a,b）时，f′（x）>0，又f(a)0B.f(x)在[a,b]上单调递增，且f(b)。

4.导数的定义

导数实际上表示的是函数的变化率。

微积分上可以这样来定量的给出定义： y=f(x)的导数y'=lim x'->0 [f(x+x')-f(x)]/x'。 你可以从下面的例子来认识导数的意义： 物理上速度函数v=s/t 这里t为变量，而加速度为速度的导数即 a=v'=-s/t^2 你可以比较认识下速度函数的导数所表达的含义。

。 导数的定义 1。

函数在一点处的导数与导函数 由于速度问题、切线问题以及其他许多问题（如电流强度、角速度、线密度等等）均导致形如 （3） 的极限，我们撇开这些量的具体意义，抓住他们在数量关系上的共性，就得出函数的导数概念. 定义 设函数 在点 的某个邻域内有定义，当自变量 在 处取得增量 （点 仍在该邻域内）时，相当函数 取得增量 ；如果 与 之比当 时的极限存在，则称函数 在点 处可导，并称这个极限为函数 在点 处的导数，记为 ，即 （4） 也可记作 ， 或 。 函数 在点 处可导有时也说成 在点 具有导数或导数存在. 。