例题:

如图，矩形ABCD中，AB=6 ，∠ABD=30°，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度在射线AB上运

动，设点P运动的时间是t秒，以AP为边作等边△APQ（使△APQ和矩形ABCD在射线AB的同侧）.

(1)当t为何值时，Q点在线段BD上？当t为何值时，Q点在线段DC上？

(2)设AB的中点为N，PQ与线段BD相交于点M，是否存在△BMN为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；

一、当t为何值时，Q点在线段BD上？

当Q点在线段BD上时，从Q点作△APQ的高，交AP于点E

1、由题目中的条件：v=1，根据距离的计算公式：s=vt，则AP=vt=t

2、在等边△APQ中，QE=√3 AP /2=√3t/2，AE= AP /2=t/2；

3、根据题目中的条件：∠ABD=30°，在Rt△BEQ中，BE=√3QE=3t/2;

4、由题目中的条件：BE=AB-AE=6-t/2，根据结论：BE=3t/2，则6-t/2=3t/2，即t=3。

所以，当t为3时，Q点在线段BD上。

二、当t为何值时，Q点在线段DC上？

当Q点在线段CD上时，从Q点作△APQ的高，交AP于点F，交BD于点G

1、由题目中的条件：v=1，根据距离的计算公式：s=vt，则AP=vt=t

2、在等边△APQ中，QF=√3/2*AP=√3t/2；

3、根据题目中的条件：四边形ABCD为矩形，则AB∥CD；

4、根据题目中的条件：QF⊥AB，DA⊥AB，根据平行线的判定：垂直于同一直线的两直线平行，则QF∥DA；

5、由结论：AB∥CD，QF∥DA，DA⊥AB，根据矩形的判定，则四边形AFQD为矩形；

6、根据矩形的性质，则AD= QF=√3t/2；

7、根据题目中的条件：∠ABD=30°，在Rt△ABD中，AB=√3AD=3t/2;

8、由题目中的条件：AB=6，则3t/2=6，即t=4

所以，当t为4时，Q点在线段CD上。

三、设AB的中点为N，PQ与线段BD相交于点M，是否存在△BMN为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；

1、当t=3时，AP=3，则BP=6-AP=3；

根据等边三角形的性质：QP=AP=3，则QP=BP，BP=AP，此时△BQP为等腰三角形且P点为AB的中点，即P点与N点重合；

所以，当t=3时，△BMN为等腰三角形。

2、当△BMN为等腰三角形，其中BM=BN时，过M点作△BMN的高，交AB于点K

根据题目中的条件：N为AB的中点，则BN= AB /2=3

根据等腰三角形的性质：BM=BN=3；

根据题目中的条件：∠ABD=30°，在Rt△BMK中，BK = BM√3 /2=3√3 / 2，MK=3/2；

根据题目中的条件：∠QPA=60°，在Rt△MKP中，KP=MK/√3=√3/2；

根据题目中的条件：BP=BK-KP=√3，则t=AP=6-√3；

所以，当t=6-√3时，△BMN为等腰三角形。

3、当△BMN为等腰三角形，其中BM=MN时，过M点作△BMN的高，交AB于点T

根据等腰三角形的性质：BT= BN /2 =3/2；

根据题目中的条件：∠ABD=30°，在Rt△BMT中，MT =BT/√3，MT=√3/2；

根据题目中的条件：∠QPA=60°，在Rt△MTP中，TP=MT/√3=1/2；

根据题目中的条件：BP=BT-TP=1，则t=AP=6-1=5；

所以，当t=5时，△BMN为等腰三角形。