一、我们先来研究一下完全平方公式的几个关键变式：

(a+b)²=a²+2ab+b².

(a-b)²=a²-2ab +b².

(a+b)²+ (a-b)²=2(a²+b²).

(a+b)²- (a-b)²=4ab.

这四个公式中包含了：a+b，a-b，a²+b²，ab. 只要知道其中的任意两个式子，就可以求出另外两个式子.

二、完全平方公式还有个非负性：

(a+b)²≥0，

(a-b)² ≥0.

如果(x+b)²+(y-c)² =0，那么x=-b，y=c.

三、用配方法配出完全平方公式如：a²+6a+10=a²+2×3a+3²-3²+10

=( a²+2×3a+3²)-3²+10

= (a+3)² +1.

四、例题

例1 已知(a+b)²=7，(a-b)²=3，求a²+ab +b²的值.

【分析】结论中的a²+ab +b²，与完全平方公式还有一点区别，如果直接用公式，无法实现. 观察这个式子的特点发现，式子里蕴含了a²+b²，ab两个式子，我们分开求这两个式子，题目就变得简单了.

解：∵(a+b)²=7，(a-b)²=3，

(a+b)²+ (a-b)²=2(a²+b²)，

∴7+3=2(a²+b²)，

∴a²+b²=5.

∵(a+b)²- (a-b)²=4ab，

∴7-3=4ab，

∴ab=1.

∴a²+b²+ab=6.

例2 已知：m+n=3，mn=2，求m²+n²，(m-n)²的值.

【分析】m²+n²与m+n，mn之间的关系，可以用公式(m+n)²=m²+n²+2mn建立；(m-n)²可以用公式：(m-n)²= m²+n²-2mn求得，也可以用公式：(m+n)²- (m-n)²=4mn求得.

解：∵m+n=3，mn=2，

(m+n)²=m²+n²+2mn，

∴3²=m²+n²+2×2,

∴m²+n²=5.

∴(m-n)²= m²+n²-2mn

=5-2×2=1.

【分析】此时要通过条件，求出a+b和a-b，观察条件的特点，我们发现，可以使用公式(a+b)²=a²+2ab+b²和(a-b)²=a²-2ab +b²分别求出a+b和a-b.

解：∵a0.

∴(a+b)²= a²+b²+2ab=6ab+2ab=8ab，

(a-b)²=a² +b²-2ab=6ab-2ab=4ab.

例4 已知x²+y²-4x+8y+20=0，求x+y的值.

【分析】看到此题，第一反应往往是想通过对那一长串式子进行变形，变化出x+y. 但是，通过多次尝试，一般是不能实现的. 这个时候，我们还可以考虑分别求出x和y，然后再求x+y. 像这种一个式子里同时含有两个字母，而且每个字母都有平方的情况，我们考虑用完全平方公式对它进行变化. 常用的方法就是“配方法”，把完全平方公式配出来.

解：x²+y²-4x+8y+20

=x²-4x+2²-2²+y²+8y+4²-4²+20

= x²-4x+2²+y²+8y+4²

=(x-2)²+(y+4)²

∴条件可以变化为：

(x-2)²+(y+4)².

∴(x-2)²+(y+4)²=0.

∵(x-2)²≥ 0， (y+4)²≥0，而它们相加为0，

∴只能有(x-2)² =0， (y+4)²=0.

∴x=2，y=-4，

∴x+y=-2.

例5 求证：无论x为何实数，代数式x²-4x+5的值恒大于零.

【分析】观察这个式子，x²-4x+5里存在着完全平方公式，或者说，我们可以用“配方法”给这个式子配出完全平方公式.

证明：x²-4x+5

= x²-4x+2²-2²+5

= (x²-4x+2²)-2²+5

=(x-2)²+1.

∵(x-2)²≥0，

∴(x-2)²+1>0.

∴无论x为何实数，代数式x²-4x+5的值恒大于零.

例6 计算：503².

【分析】此题如果直接计算，计算量比较大，我们可以考虑使用完全平方公式.

解：503²=(500+3)²

=500²+2×500×3+3²

=250000+3000+9

=253009.