对称美是永恒的美，也是数学长期追求的目标，函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来剖析与函数对称有关的性质。萊垍頭條

一、函数自身的对称性探究頭條萊垍

定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是萊垍頭條

f (x) + f (2a－x) = 2b萊垍頭條

证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴ 2b－y = f (2a－x)萊垍頭條

即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。萊垍頭條

（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)萊垍頭條

∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。 萊垍頭條

故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。條萊垍頭

推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0萊垍頭條

定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是萊垍頭條

　 f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者）萊垍頭條

推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)萊垍頭條

定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。垍頭條萊

②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。萊垍頭條

③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。頭條萊垍

①②的证明留给读者，以下给出③的证明：萊垍頭條

∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，萊垍頭條

∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：萊垍頭條

f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）萊垍頭條

又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称，垍頭條萊

∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得萊垍頭條

f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**）萊垍頭條

用2（a－b）－x代x得萊垍頭條

f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：頭條萊垍

f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。條萊垍頭

二、不同函数对称性的探究萊垍頭條

定理4. 函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。垍頭條萊

定理5. ①函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。萊垍頭條

②函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。萊垍頭條

③函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。條萊垍頭

定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③萊垍頭條

设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)。记点P( x ,y)关于直线x－y = a的轴对称点为P‘（x1， y1），则x1= a + y0, y1= x0－a ，∴x0= a + y1, y0= x1－a 代入y0 = f (x0) 之中得x1－a = f (a + y1) ∴点P‘（x1， y1）在函数x－a = f (y + a)的图像上。垍頭條萊

同理可证：函数x－a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理5中的③成立。條萊垍頭

推论：函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。萊垍頭條