一、向量在平面几何的应用？

我也瞎说几句吧。作为一个好的数学对象，既要与现有理论相容，最好还要有实际的应用。向量这个数学对象是很棒的，可以定义加法和数量乘法，且加法满足结合律交换律，与几何对应的矢量加法满足平行四边形法则，完美相容，现实世界的力抽象为一个矢量的话，有大小有方向，且力的合成(加法)满足平行四边形法则。还可以引入内积，引入内积后可以定义度量，可以定义正交，然后古典的分析那一套方法和结论都可以拿过来用，简直就是屠龙刀一样无往不利的工具。

回到问题，怎样把向量的概念推广，要求推广后的对象与现有理论不矛盾，还有怎么定义运算，都是大问题，例如题主说的所谓向体的概念，有点类似线性流形，也就是线性方程组的解空间。

建议题主去学学近世代数，打开数学新世界的大门。

二、向量可以解决所有平面几何吗？

可以证明任何向量都能分解成两个不平行的向量的线性组合，进而证明平面几何中所有问题都可以化成向量问题。

平面几何中的两条线段的垂直问题，可转化为平面向量中的两个向量的数量积为0来解决。在证明过程中，可利用向量加法的三角形法则或者平行四边形法则将所求向量进行转化。

三、平面向量的加减法则？

平面向量的加减公式：a+b=（x+x'，y+y'）。平面向量是在二维平面内既有方向（direction）又有大小（magnitude）的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。

在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。

平面向量的加减法称为平面向量的线性运算，符合平行四边形法则或者三角形法则。

线性运算是加法和数量乘法， 在实数领域像只包含加法和数量乘法二元一次方程就属于线性运算，如y=3x+5。如果是矩阵的加法和数乘运算，就称为矩阵的线性运算；如果是向量的加法和数乘运算，统称为向量的线性运算。对于不同线性运算一般有不同的形式，它们满足交换律、结合律、分配律等。