一、椭圆方程指的是什么？

椭圆的一般标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1或者: x^2/b^2+y^2/a^2=1，(其中a>b>0)焦点分别在x轴和y轴上。

当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)。

当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)； 其中a^2-c^2=b^2。

在方程中，所设的称为长轴长，称为短轴长，而所设的定点称为焦点，那么称为焦距；在假设的过程中，假设了，如果不这样假设，会发现得不到椭圆。

基本性质：

1、范围：焦点在x轴上-a≤x≤a，-b≤y≤b；焦点在y轴上-b≤x≤b， -a≤y≤a。

2、对称性：关于X轴对称，Y轴对称，关于原点中心对称。

3、顶点：（a，0）（-a，0）（0，b）（0，-b）。

4、离心率：e=c/a或 e=√（1-b^2/a²）。

5、离心率范围：00）

即

将方程两边同时平方，化简得

两边再平方，化简得

又

，设

，得

两边同除以

 ，得

这个形式是椭圆的标准方程。

通常认为圆是椭圆的一种特殊情况 [2]  。 [3] 

三、椭圆方程的意义

如果在一个平面内一个动点到两个定点（ 焦点）的距离的和等于定长，那么这个动 点的轨迹叫做椭圆。

椭圆的参数方程为：

x=acosα

y=bsinα

其中：a代表半长轴的长度，b代表半短轴的长度，α表示与x周正半轴所成的角度（逆时针），且a^2=b^2+c^2，且c/a为椭圆的离心率。

共分两种情况：

当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；

当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；

其中a^2-c^2=b^2

共分两种情况：

当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；

当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；

其中a^2-c^2=b^2

通常来说椭圆是圆的一种。

四、椭圆的标准方程 知识点

椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：

1）焦点在X轴时，标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1

2）焦点在Y轴时，标准方程为：x^2/b^2+y^2/a^2=1

其中a>0，b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们分别叫椭圆的长半轴和短半轴）当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^2)^0.5，焦距与长.短半轴的关系:b^2=a^2-c^2 ,准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c

五、椭圆方程单元的知识要点

圆锥曲线

圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线

1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。

2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a0,c^2=a^2+b^2,动点与两个定点之差为定值2a

·双曲线的参数方程为：

x=X+a·secθ

y=Y+b·tanθ

(θ为参数)

·几何性质：

1、取值区域：x≥a,x≤-a

2、对称性：关于坐标轴和原点对称。

3、顶点：A(-a,0) A’(a,0) AA’叫做双曲线的实轴，长2a；

B(0,-b) B’(0,b) BB’叫做双曲线的虚轴，长2b。

4、渐近线：

y=±(b/a)x

5、离心率：

e=c/a 取值范围：（1，+∞]

6 双曲线上的一点到定点的距离和到定直线的距离的比等于双曲线的离心率

椭圆

目录·定义

·标准方程

·公式

·相关性质

·历史

定义

椭圆是一种圆锥曲线（也有人叫圆锥截线的），现在高中教材上有两种定义：

1、平面上到两点距离之和为定值的点的集合（该定值大于两点间距离）（这两个定点也称为椭圆的焦点，焦点之间的距离叫做焦距）；

2、平面上到定点距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点不在定直线上，该常数为小于1的正数）（该定点为椭圆的焦点，该直线称为椭圆的准线）。这两个定义是等价的

标准方程

高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1

其中a>0，b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们分别叫椭圆的长半轴和短半轴）当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^2)^0.5，准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c

椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ， y=bsinθ

公式

椭圆的面积公式:

S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).

椭圆的周长公式:

C＝2Bπ(圆周率)／A×根号下(2A的平方－2B的平方)(其中A，B分别是椭圆的长半轴和短半轴)

相关性质

由于平面截圆锥（或圆柱）得到的图形有可能是椭圆，所以它属于一种圆锥截线。

例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）：

将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。

设两点为F1、F2

对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2

则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2

由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点

用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆

椭圆有一些光学性质：椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其外表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）

什么是抛物线?

平面内,到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹(或集合)称之为抛物线.

另外,F称为抛物线的焦点,l称为抛物线的准线.

定义焦点到抛物线的距离为焦准距,用p表示.p>0.

以平行于地面的方向将切割平面插入一个圆锥，可得一个圆，如果倾斜这个平面

直至与其一边平行，就可以做一条抛物线。

2.抛物线的标准方程

右开口抛物线:y^2=2px

左开口抛物线:y^2=-2px

上开口抛物线:y=x^2/2p

下开口抛物线:y=-x^2/2p

3.抛物线相关参数(对于向右开口的抛物线)

离心率:e=1

焦点:(p/2,0)

准线方程l:x=-p/2

顶点:(0,0)

4.它的解析式求法：三点代入法

5.抛物线的光学性质:经过焦点的光线经抛物线反射后的光线平行抛物线的对称轴.

抛物线：y = ax* + bx + c

就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c

a > 0时开口向上

a

c = 0时抛物线经过原点

b = 0时抛物线对称轴为y轴

还有顶点式y = a（x-h）* + k

就是y等于a乘以（x-h）的平方+k

h是顶点坐标的x

k是顶点坐标的y

一般用于求最大值与最小值

抛物线标准方程:y^2=2px

它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2

由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py